微积分期末复习笔记

微积分A(1)期末复习笔记(仅包括下半学期相关内容),仅供参考。 PDF版本链接

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定理

黎曼积分


$f$可积:

IFF $\forall \varepsilon \gt 0, U(f;P)-L(f;P) \lt \varepsilon$.

IFF $\underline{\int}_a^b f(x) \;\text{d}x = \overline{\int}_a^b f(x) \;\text{d}x$.

IFF $\lim_{\lambda(P) \to 0} \sum_{i=1}^n \omega(f;\Delta_i) \Delta x_i = 0$.


一致连续

$\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall x,y \in X, \vert x-y \vert \lt \delta$, 都有$\vert f(x) - f(y) \vert \lt \varepsilon$, 则$f$在$X$上一致连续.


$f$一致连续:

IFF $\forall \lbrace x_n \rbrace, \lbrace y_n \rbrace, \lim_{n \to \infty} (x_n-y_n) = 0$, 都有$\lim_{n \to \infty} (f(x_n)-f(y_n)) = 0$.


$L$-Lipschitz函数一致连续.

闭区间上连续函数一致连续.

闭区间上连续函数可积.

闭区间上单调函数可积.

有界函数可积当且仅当的间断点集零测度.


积分中值定理

积分第一中值定理: $f \in \mathscr C[a,b], \exists \xi \in [a,b], \int_a^b f(x) \;\text{d}x = f(\xi)(b-a)$.

加强积分第一中值定理: $f \in \mathscr R[a,b], f \in \mathscr C(a,b), \exists \xi \in (a,b), \int_a^b f(x) \;\text{d}x = f(\xi)(b-a)$.

广义积分第一中值定理: $f \in \mathscr C[a,b], g \in \mathscr R[a,b], \exists \xi \in [a,b], \int_a^b f(x)g(x) \;\text{d}x = f(\xi)\int_a^b g(x) \;\text{d}x$.

积分第二中值定理: $f \in \mathscr R[a,b]$, $g$在$[a,b]$上单调, $\exists \xi \in [a,b], \int_a^b f(x)g(x) \;\text{d}x = g(a) \int_a^\xi f(x) \;\text{d}x + g(b)\int_\xi^b f(x) \;\text{d}x$.


广义积分收敛性判断

Cauchy判别准则: $\int_a^\omega f(x) \;\text{d}x$收敛:

IFF $\forall \varepsilon \gt 0, \exists c \in (a,\omega), \forall A_1,A_2 \in (c,\omega), \vert \int_{A_1}^{A_2} f(x) \;\text{d}x \vert \lt \varepsilon$.

Abel判别准则: $\int_a^\omega f(x) \;\text{d}x$收敛且$g$单调有界则$\int_a^\omega f(x)g(x) \;\text{d}x$收敛.

Dirichlet判别准则: $F(A) = \int_a^A f(x) \;\text{d}x$有界且$g$单调趋于$0$, 则$\int_a^\omega f(x)g(x) \;\text{d}x$收敛.

比较判敛法.

测试函数.


公式

高阶导数公式
  1. $(x^\alpha)^{(n)} = \alpha^{\underline{n}}x^{\alpha-n}$.

  2. $(e^{\alpha x})^{(n)} = \alpha^n e^{\alpha x}$ ($\alpha \in \mathbb C$).

  3. $(\ln(1+x))^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$.

  4. $\sin^{(n)}(x) = \sin(x+\frac{n\pi}{2})$, $\cos^{(n)}(x) = \cos(x+\frac{n\pi}{2})$.

$1 \Rightarrow 3$:

$2 \Rightarrow 4$:


常用泰勒展开


变限积分求导


定积分与数列极限


不等式

均值不等式:

Young不等式($\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$):

Holder不等式($\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$):

积分Cauchy不等式:

积分Holder不等式($\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$):

积分Jensen不等式($\varphi$为凸函数):

积分Minkowski不等式($p \gt 1$):


几何图形计算

直角坐标系下面积(矩形逼近):

极坐标系下面积(扇形逼近):

参数方程面积:

若$x(t)$单调, 反函数$t(x)$存在, $a = x(\alpha)$, $b = x(\beta)$, 则:


直角坐标系弧长:

极坐标系弧长:

参数方程曲线弧长:


曲线的曲率: $\kappa = \frac{\text{d}\alpha}{\text{d}L}$. 曲线的曲率半径$R = \frac{1}{\kappa}$

参数方程曲线曲率:

直角坐标系曲线曲率:

极坐标系曲线曲率:


$y = f(x)$绕$x$轴旋转体体积:

$y = f(x)$绕$y$轴旋转体体积:


极坐标曲线与原点连线所成图形绕极轴旋转体积(一般情况下适用):


$y = f(x)$绕$x$轴旋转体侧面积微元: $\text{d}S = 2\pi \vert y \vert\;\text{d} L$.

参数方程旋转体侧面积($x$轴):

参数方程旋转体侧面积($y$轴):

直角坐标系旋转体侧面积($x$轴):

直角坐标系旋转体侧面积($y$轴):

极坐标系旋转体侧面积($x$轴):

极坐标系旋转体侧面积($y$轴):


曲线质心: 力矩平衡. 设线密度$\mu$为常数. 则一小段线段的质量为$\text{d} m = \mu \text{d} L$. 线段总质量为$m = \int \mu \;\text{d}L$.

沿$y$轴方向的静力矩为: $M_y = \int x\mu \;\text{d}L$. 类似地, $M_x = \int y\mu \;\text{d}L$.

设质心坐标为$(\bar x,\bar y)$, 则:

类似地,

若线密度不为常数,将$\mu$替换为$\mu(x)$即可,此时分子分母积分不再能消去$\mu(x)$.


ODE
直接积分型ODE:

则直接积分. 通解为:


一阶线性齐次ODE

求导后能和自身抵消, 猜测函数为$Ce^{f(x)}$形式, 解出. 通解为:

注意这里的积分符号表示任意一个原函数, 因此积分结果本身不需要$+C$.


一阶线性非齐次ODE:

常数变易法, 猜测函数为$y = C(x)e^{f(x)}$, 解出. 通解为:


分离变量型一阶ODE:

移项: $\frac{\text{d}y}{g(y)} = f(x) \;\text{d}x$, 因此可以直接积分. 通解为(隐函数):

若存在$g(y_0) = 0$, 则$y_0$为该ODE的一个奇解.


ax+by+c型ODE

若$b = 0$, 则为直接积分型ODE. 通解为:

令$u = ax+by+c$, 则$\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = a+b \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = a+bf(u)$, 为分离变量型ODE. 通解为(隐函数):

若存在$a+bf(u_0) = 0$, 则$y = \frac{1}{b}(u_0-ax-c)$为该ODE的一个奇解.


y/x型ODE

令$u = \frac{y}{x}$, 则$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}ux}{\text{d}x} = x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} + u = F(u)$, 为分离变量型ODE: $x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = F(u)-u$. 通解为(隐函数):

若存在$F(u_0)-u_0 = 0$, 则$y = u_0x$为该ODE的一个奇解.


x/y型ODE

令$u = \frac{x}{y}$, 则$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{1}{\frac{\text{d}uy}{\text{d}y}} = \frac{1}{y\frac{\text{d}u}{\text{d}y} + u} = F(u)$, 为分离变量型ODE: $y\frac{\text{d}u}{\text{d}y} = \frac{1}{F(u)}-u$. 通解为(隐函数):

若存在$\frac{1}{F(u_0)}-u_0 = 0$, 则$y = \frac{1}{u_0}x$为该ODE的一个奇解.


直线交点型ODE

若直线$a_1x+b_1y+c_1=0$与$a_2x+b_2y+c_2=0$有唯一交点$(x_0,y_0)$, 则$X = x-x_0, Y = y-y_0$:

否则两直线平行, $a_1b_2 = a_2b_1$. 则:


伯努利方程

若$\alpha = 0$则为一阶线性非齐次ODE, 若$\alpha = 1$则为分离变量型一阶ODE, 否则令$z = y^{1-\alpha}$, 则$\frac{\text{d}z}{\text{d}x} = (1-\alpha)y^{-\alpha}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, 为一阶线性非齐次ODE: $\frac{\text{d}z}{\text{d}x} + (1-\alpha)p(x)z = (1-\alpha)q(x)$. 通解为:

另外, 若$\alpha \gt 0$, $y = 0$为该ODE的奇解.


高阶ODE与基本解组

$n$阶ODE: $y^{(n)} + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x)y^{(i)} = f(x)$. 对于任意一个柯西初值问题, 区间$I$上存在唯一解.

高阶齐次ODE解集为$n$维线性空间. 可以找到$n$个线性无关的函数作为基底(基本解组).


Wronsky行列式:

THEOREM

$f$线性相关 $\Leftrightarrow$ 在区间$I$上$W(f_1,f_2,\cdots,f_n)(x) \equiv 0$. 且$f$线性无关 $\Leftrightarrow$ 在区间$I$上$W(f_1,f_2,\cdots,f_n)(x)$恒不为$0$.


给定一个基本解组, 构造以这个基本解组为解的ODE:


高阶积分型ODE

求$n$次原函数.


降阶型ODE

其中$k \ge 1$, 则令$p(x) = y^{(k)}(x)$, 阶数降低, 解出$p(x)$后为高阶积分型ODE, $y(x)$为$p(x)$求$k$次原函数.


不显含x型二阶ODE

令$p = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, 则$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$, 转换为$F(y,p,p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}) = 0$, 为分离变量型ODE: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = p(y)$.


二阶线性齐次ODE

求导后能和自身抵消, 猜测函数为$e^{\lambda x}$形式, 解出$(\lambda^2 + p\lambda +q)e^{\lambda x} = 0$. 判别式$\Delta = p^2-4q$

若$\Delta \gt 0$, 通解为: $y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$.

若$\Delta = 0$, 通解为: $y = (C_1+C_2x)e^\lambda = (C_1+C_2x)e^{-\frac{p}{2}x}$.

若$\Delta \lt 0$, $\lambda_1,\lambda_2$可能为复数$\alpha \pm \beta i$. 对于一个复值函数解$y(x)$, $u(x) = \text{Re}(x)$和$v(x) = \text{Im(x)}$分别满足:

故复值函数解$y = Ce^{(\alpha + \beta i)x}$可以构造两个实值函数解:

可以检验两个解线性无关, 则实值通解为:

事实上, 直接考虑复值通解:

当$C_1 = \overline{C_2}$时即可得实值通解.


高阶线性齐次ODE

类似于二阶求其特征多项式$P(\lambda) = \lambda^n + \sum_{i=0}^{n-1} a_i\lambda^i$. 设其有$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$共$k$个特征根, 其中$\lambda_i$重数为$m_i$, 则其复值通解为:


特殊二阶线性非齐次ODE

考虑$\mu$的重数$m$, 假设一个特解$z_0 = Q_n(x)x^me^{\mu x}$. 解出$Q_n(x)$后用特解加上其次ODE通解得到非齐次ODE通解.


因此, 任意$y’’ + py’ + qy = P_n(x)f(x)$, 其中$f(x) = e^{ax}$或$e^{ax}\cos(bx) = \text{Re}(e^{(a+bi)x})$或$e^{ax}\sin(bx) = \text{Im}(e^{(a+bi)x})$都可以解出.


一般二阶线性非齐次ODE

首先求出二阶线性齐次ODE的两个线性无关解$y_1,y_2$, 那么一个特解为:

此公式一般很难积分计算, 因此通常计算上一部分的特殊二阶线性非齐次ODE.


欧拉方程

令$t = \ln \vert x \vert$, 则:


一阶线性ODEg

用向量形式可以表示为:

如果该齐次方程存在$n$个线性无关的解, 奇解矩阵为$\mathbf \Phi = (\mathbf Y_1, \mathbf Y_2, \mathbf Y_3, \cdots, \mathbf Y_n)$, 则通解为$\mathbf{\Phi C}$, 其中$\mathbf C = (C_1,C_2,C_3, \cdots C_n)^\top$. 一个特解为$\mathbf Z(x) =\mathbf \Phi(x) \int_{x_0}^x (\mathbf \Phi (t))^{-1} \mathbf F(t) \;\text{d}t$. 因此, 原非齐次方程的通解为:

如何求$\mathbf \Phi$? 类比一阶线性齐次ODE, 考虑形如$\mathbf Y = e^{\lambda x}\mathbf r$的形式: 若$\mathbf A$有$k$个不同的特征值, 特征值$\lambda_i$重数为$m_i$, 则对于每个$\lambda_i$存在$m_i$个线性无关的解$e^{\lambda_ix}\mathbf P_i(x)$, 其中$\mathbf P_i$为系数为向量的多项式.


向量方程的Wronsky行列式$W(x) = \det(\mathbf \Phi(x))$. $n$个解线性相关当且仅当$W(x) \equiv 0$. 进一步地, 可以观察到(对行列式求到即对每一行分别求导后求行列式相加):

故$W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^xa_{n-1}(t)\;\text{d}t}$.


事实上, 如果令$y_i = y^{(i)}$, 一个$n$阶线性ODE可以表示为一个一阶$n$元线性ODEg:


求解一阶线性ODEg的常用方法事实上是转为ODE.


技巧

$\ln$求导法
分部积分
  1. 对数函数: $\ln x$, …

  2. 反三角函数: $\text{arcsin} x$, $\text{arctan} x$, …

  3. 幂函数: $x^n$, $P(x)$, …

  4. 三角函数: $\sin x$, $\cos x$, …

  5. 指数函数: $e^x$, …

上述函数结合时, 排名靠前的适合求导, 留在原地准备分部积分后求导; 排名靠后的适合积分, 积分放入$\text{d}$后.


换元

被积函数关于$\sin x$奇函数: $\cos x = t$.

被积函数关于$\cos x$奇函数: $\sin x = t$.

被积函数关于$\sin x$, $\cos x$都为偶函数: $\tan x = t$.


$\sqrt{x^2+a^2}$: $x = a \text{sh} t$或$x = a \tan t$.

$\sqrt{x^2-a^2}$: $x = a \text{ch} t$或$x = \pm a \sec t$.

$\sqrt{a^2-x^2}$: $x = a \sin t$.


三角有理函数积分

而$a\sin x + b \cos x$与$-b \sin x + a \cos x$线性无关, 因此可以求出所有形如下方的积分:


鸣谢

感谢何昊天学长的微积分复习讲座(手动@微信公众号:乐学)。


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文章作者: Magolor
文章链接: https://magolor.cn/2019/12/28/2019-12-28-blog-01/
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