总结一下双曲函数的性质, 方便以后复习用.

定义

$$\text{sh} x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\text{ch} x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\text{th} x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$ $$\text{cth} x = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$ $$\text{sech} x = \frac{2}{e^x+e^{-x}}$$ $$\text{csch} x = \frac{2}{e^x-e^{-x}}$$

作为对照:

$$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = -i\text{sh}(ix)$$ $$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} = \text{ch}(ix)$$

另外，对于反双曲函数有等价形式:

$$\text{arsinh}x = \ln \vert x + \sqrt{x^2+1} \vert$$ $$\text{arcosh}x = \ln \vert x + \sqrt{x^2-1} \vert$$ $$\text{artanh}x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \\$$ $$\text{arcoth}x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right) \\$$

基本公式

$$\text{ch}^2x + (-\text{sh}^2x) = 1 \\$$ $$(-\text{th}^2x) = \text{sech}^2x - 1 \\$$ $$(-\text{cth}^2x) = (-\text{csch}^2x) - 1 \\$$

两角和差公式

$$\text{sh} (x \pm y) = \text{sh} x \cdot \text{ch} y \pm \text{ch} x \cdot \text{sh} y$$ $$\text{ch} (x \pm y) = \text{ch} x \cdot \text{ch} y \mp (- \text{sh} x \cdot \text{sh} y)$$ $$\text{th} (x \pm y) = \frac{\text{th}x \pm \text{th} y}{1 \mp (-\text{th}x \cdot \text{th} y)}$$

$$\text{sh}(2x) = 2\text{sh}x \cdot \text{ch}x \\$$ $$\text{ch}(2x) = \text{ch}^2 x - (-\text{sh}^2 x) = 2 \text{ch}^2 x - 1 = 1 - (-2\text{sh}^2 x) \\$$ $$\text{th}(2x) = \frac{2\text{th}x}{1-(-\text{th}^2x)} \\$$

$$\text{sh}(3x) = \text{sh} x \cdot (3 - (-4\text{sh}^2x)) \\$$ $$\text{ch}(3x) = \text{ch} x \cdot (4\text{ch}^2x - 3) \\$$

$$(-\text{sh}^2x) = \frac{\text{ch}(2x) - 1}{2} \\$$ $$\text{ch}^2x = \frac{\text{ch}(2x) + 1}{2} \\$$ $$\text{th}x = \frac{\text{sh}(2x)}{1+\text{ch}(2x)} = \frac{\text{sh}(x) \cdot (1-\text{ch}(2x))}{(-\text{sh}^2(2x))} = \frac{\text{ch}(2x)-1}{\text{sh}(2x)} \\$$

积化和差与和差化积

$$\text{sh}x \cdot \text{ch}y = \frac{1}{2}\big(\text{sh}(x+y)+\text{sh}(x-y)\big) \\$$ $$\text{ch}x \cdot \text{sh}y = \frac{1}{2}\big(\text{sh}(x+y)-\text{sh}(x-y)\big) \\$$ $$\text{ch}x \cdot \text{ch}y = \frac{1}{2}\big(\text{ch}(x+y)+\text{ch}(x-y)\big) \\$$ $$(-\text{sh}x \cdot \text{sh}y) = \frac{1}{2}\big(\text{ch}(x+y)-\text{ch}(x-y)\big) \\$$

$$\text{sh} x + \text{sh} y = 2 \text{sh} \frac{x+y}{2} \cdot \text{ch} \frac{x-y}{2} \\$$ $$\text{sh} x - \text{sh} y = 2 \text{ch} \frac{x+y}{2} \cdot \text{sh} \frac{x-y}{2} \\$$ $$\text{ch} x + \text{ch} y = 2 \text{ch} \frac{x+y}{2} \cdot \text{ch} \frac{x-y}{2} \\$$ $$\text{ch} x - \text{ch} y = (-2 \text{sh} \frac{x+y}{2} \cdot \text{sh} \frac{x-y}{2}) \\$$

微分与积分

$$\text{d}(\text{sh}x) = \text{ch} x\;\text{d}x \\$$ $$(-\text{d}(\text{ch}x)) = -\text{sh}x\;\text{d}x \\$$ $$\text{d}(\text{th}x) = \text{sech}^2 x\;\text{d}x \\$$ $$\text{d}(\text{cth}x) = -\text{csch}^2 x\;\text{d}x \\$$ $$(-\text{d}(\text{sech}x)) = \frac{\text{sh} x}{\text{ch}^2x} = \text{tanh}x \cdot \text{sech} x\;\text{d}x \\$$ $$\text{d}(\text{csch}x) = -\frac{\text{ch}x}{\text{sh}^2x} = -\text{coth} x \cdot \text{csch}x\;\text{d}x \\$$ $$\left(-\int \text{sh} x \;\text{d}x\right) = -\text{ch} x \\$$ $$\int \text{ch} x \;\text{d}x = \text{sh} x \\$$ $$\text{d}(\text{arsinh}x) = \frac{1}{\sqrt{1-(-x^2)}}\;\text{d}x \\$$ $$\text{d}(\text{arcosh}x) = i \cdot -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;\text{d}x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \;\text{d}x \\$$ $$\text{d}(\text{artanh}x) = \frac{1}{1+(-x^2)}\;\text{d}x \\$$ $$\int \text{arsinh}x \;\text{d}x = x \cdot \text{arsinh}x - \sqrt{1-(-x^2)} \\$$ $$\int \text{arcosh}x \;\text{d}x = x \cdot \text{arcosh}x - i\sqrt{x^2-1} \\$$ $$\int \text{artanh}x \;\text{d}x = x \cdot \text{artanh}x - \frac{1}{2}\ln\big\vert 1+(-x^2) \big\vert \\$$

总结

由于受到$\sin x = -i\text{sh}(ix)$的影响, 等式出现$\text{sh}^2x$, $\text{d}(\text{ch}x)$的时候, 等式需要变号. 间接包含例如$\text{csch}^2x$, $\text{th}^2x$, $\text{cth}^2x$与$\text{d}(\text{sech}x)$也要变号. 反双曲函数求导/积分过程中, 与$\text{arcosh}$无关的情况$x^2$变号, 与$\text{arcosh}$有关的情况含有根号的项整体乘 $i$ .

(以上为危险言论, 后果自负)

更多反例等待观察. 更加安全的方式是直接使用$\text{sh}$与$\sin$的关系式/$\text{ch}$与$\cos$的关系式变换, 对于反三角函数也换为等价形式处理.

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