总结一下双曲函数的性质, 方便以后复习用.
定义
shx=2ex−e−x
chx=2ex+e−x
thx=ex+e−xex−e−x
cthx=ex−e−xex+e−x
sechx=ex+e−x2
cschx=ex−e−x2
作为对照:
sinx=2ieix−e−ix=−ish(ix)
cosx=2eix+e−ix=ch(ix)
另外,对于反双曲函数有等价形式:
arsinhx=ln∣x+x2+1∣
arcoshx=ln∣x+x2−1∣
artanhx=21ln(1−x1+x)
arcothx=21ln(x−1x+1)
基本公式
ch2x+(−sh2x)=1
(−th2x)=sech2x−1
(−cth2x)=(−csch2x)−1
两角和差公式
sh(x±y)=shx⋅chy±chx⋅shy
ch(x±y)=chx⋅chy∓(−shx⋅shy)
th(x±y)=1∓(−thx⋅thy)thx±thy
sh(2x)=2shx⋅chx
ch(2x)=ch2x−(−sh2x)=2ch2x−1=1−(−2sh2x)
th(2x)=1−(−th2x)2thx
sh(3x)=shx⋅(3−(−4sh2x))
ch(3x)=chx⋅(4ch2x−3)
(−sh2x)=2ch(2x)−1
ch2x=2ch(2x)+1
thx=1+ch(2x)sh(2x)=(−sh2(2x))sh(x)⋅(1−ch(2x))=sh(2x)ch(2x)−1
积化和差与和差化积
shx⋅chy=21(sh(x+y)+sh(x−y))
chx⋅shy=21(sh(x+y)−sh(x−y))
chx⋅chy=21(ch(x+y)+ch(x−y))
(−shx⋅shy)=21(ch(x+y)−ch(x−y))
shx+shy=2sh2x+y⋅ch2x−y
shx−shy=2ch2x+y⋅sh2x−y
chx+chy=2ch2x+y⋅ch2x−y
chx−chy=(−2sh2x+y⋅sh2x−y)
微分与积分
d(shx)=chxdx
(−d(chx))=−shxdx
d(thx)=sech2xdx
d(cthx)=−csch2xdx
(−d(sechx))=ch2xshx=tanhx⋅sechxdx
d(cschx)=−sh2xchx=−cothx⋅cschxdx
(−∫shxdx)=−chx
∫chxdx=shx
d(arsinhx)=1−(−x2)1dx
d(arcoshx)=i⋅−1−x21dx=x2−11dx
d(artanhx)=1+(−x2)1dx
∫arsinhxdx=x⋅arsinhx−1−(−x2)
∫arcoshxdx=x⋅arcoshx−ix2−1
∫artanhxdx=x⋅artanhx−21ln∣∣1+(−x2)∣∣
总结
由于受到sinx=−ish(ix)的影响, 等式出现sh2x, d(chx)的时候, 等式需要变号. 间接包含例如csch2x, th2x, cth2x与d(sechx)也要变号. 反双曲函数求导/积分过程中, 与arcosh无关的情况x2变号, 与arcosh有关的情况含有根号的项整体乘 i .
(以上为危险言论, 后果自负)
更多反例等待观察. 更加安全的方式是直接使用sh与sin的关系式/ch与cos的关系式变换, 对于反三角函数也换为等价形式处理.
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