「趣题」圆内任取四点在同一半圆内概率

dalao室友突然提出一个他看到的有趣的问题: 在一个圆内均匀随机取$4$个点,落在同一个半圆内的概率(半圆圆心与原来的圆相同)。

首先因为均匀随机点也是均匀随机圆周角,所以实际上是问: 在一个圆周上均匀随机取$4$个点,在同一个半圆弧上的概率。

一般化地,我考虑随机取$n$个点的情况,本文将讨论$n \le 4$并推广到任意$n$。本文将以”大学数学”和”小学数学”两条思路进行。


$n \le 2$

答案是$1$。


$n = 3$

大学数学

暴力积分: 假设有两个点已经确定夹角为$\theta$,那么第三个点可以取的角度弧度制范围是(以第一个点为基准零点): $[\theta - \pi, \pi]$。于是答案就是:


小学数学

三个点都在一个半圆周上等价于三个点连成的三角形在圆心的一侧,即不包含圆心。例如:

那么怎么求这个概率呢?考虑下图作射线$BA$和$CA$:

这时候枚举$B,C$和枚举$BA,BC$再确定点$B$和$C$是等价的。于是枚举$BA,BC$即可。

这时候能得到这样一个图形的有四种可能的三角形$\Delta DBC$,$\Delta DBC_1$,$\Delta DB_1C$,$\Delta DB_1C_1$。只有一种包含圆心,即$\Delta DB_1C_1$。不难发现这总是成立的。

又因为我们之前构造了一种对应关系,所以分布是均匀的: 每四个三角形中有一个不满足条件,因此答案为$\frac{3}{4}$。

概括来说,过圆心做两条直径,每条直径分别选一个端点可以得到四种不同的方案。枚举不同的直径可以唯一且不遗漏得到一个圆周上取点的方案。这样的得到的每组四种方案中都有且仅有一种不合法。

答案是$\frac{3}{4}$。


$n = 4$

大学数学

还是暴力积分。$n = 3$的问题通过积分转化为一个面积问题,这里$n = 4$就转化为体积问题。

这回要多分类讨论一样,就是一个二元函数: $\theta_1$,$\theta_2$分别表示第一个点和第二个点的夹角,第一个点和第三个点的夹角,$p(\theta_1,\theta_2)$表示第四个点的取值合法概率。得到一个三维立体图。

首先底面是$\theta_1$和$\theta_2$本身有限制:

然后分类讨论第四个点的概率,得到的图形是底面六边形形成一个高为$\frac{1}{2}$的六棱柱,然后顶部每个点再连向$(0,0,1)$:

这个多面体体积为$\frac{1}{2} \times (1+\frac{1}{3}) \times 3\pi^2 = 2\pi^2$,除以总事件空间体积(代表方案数)$2\pi \times 2\pi \times 1 = 4\pi^2$,就得到$\frac{1}{2}$。

因此答案是$\frac{1}{2}$。


小学数学

似乎之前的方法非常巧妙,对于$n = 4$就不适用了。

不过还是考虑通过构造”新方案”来解决问题。

这个问题麻烦在于点之间的相对关系不确定,如果关系确定就好办了: 对于一种选择四个点的方案,强制将随机一个点作为第一个点,且卡在顺时针半圆起始边界上。例如:

如果选择$A$点作为起点,就只判断四个点是否在如下半圆内:

这样我们构建了一个”新方案”: 原来每个方案取四个点中的任意一个作为起点可以构造四个”新方案”。

“新方案”满足四个点在这样一个已经固定好的半圆内的概率很好算: 除了第一个点用来确定半圆外剩下三个点都是随机取的,有$\frac{1}{2}$的概率在半圆内,因此有$\frac{1}{8}$的方案满足,$\frac{7}{8}$的方案不满足。

接下来鸡兔同笼的骚操作就来了:

而对于原来的只有选择四个点的方案: 如果这个方案是不合法的(不存在一个半圆使得四个点在同一个半圆内),那么显然四种起点的选择都不满足条件;如果这个方案是合法的,那么只有一种起点的选择方案满足,其余总会出现在起点逆时针方向有点的情况。

因此每个合法方案对满足条件的”新方案”贡献为$1$,对不满足条件的新方案贡献为$3$;每个不合法方案对不满足条件的新方案贡献为$4$。

那么设合法方案比例为$p$,”新方案”比例系数为$\Omega$。就有:

就解得$p = \frac{1}{2}$。这样就好像鸡兔同笼问题,假设已知总动物数,然后知道物种A(合法方案)有$1$只眼$3$条腿,物种B(不合法方案)没有眼睛有$4$条腿,然后知道总的眼睛数和腿数之比,就求出物种A和B之比。


$n \in \mathbb N_+$

大学数学

高维体积?

似乎并不好做了。


小学数学

$n = 4$的情况完全可以无压力推广:

任选一个点作为起点,原先一个方案可以构造出$n$个新方案。一个合法方案会构造出$1$个满足条件,$n-1$个不满足条件的新方案;一个不合法方案会构造出$n$个不满足条件的新方案。

总的新方案合法比例是$n-1$个点任取在一个固定半圆内的概率$\frac{1}{2^{n-1}}$。

因此,就得到方程组:

解得通解$p = \frac{n}{2^{n-1}}$。其中要求$n \ge 1$。当$n = 1$时$p = 1$;当$n = 2$时$p = 2$;当$n = 3$时$p = \frac{3}{4}$;当$n = 4$时$p = \frac{1}{2}$。符合情况。

因此这个问题的答案就是$\frac{n}{2^{n-1}}$。

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文章作者: Magolor
文章链接: https://magolor.cn/2019/08/25/2019-08-25-blog-01/
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