「趣题」圆内任取四点在同一半圆内概率

dalao室友突然提出一个他看到的有趣的问题: 在一个圆内均匀随机取44个点,落在同一个半圆内的概率(半圆圆心与原来的圆相同)。

首先因为均匀随机点也是均匀随机圆周角,所以实际上是问: 在一个圆周上均匀随机取44个点,在同一个半圆弧上的概率。

一般化地,我考虑随机取nn个点的情况,本文将讨论n4n \le 4并推广到任意nn。本文将以"大学数学"和"小学数学"两条思路进行。


n2n \le 2

答案是11


n=3n = 3

大学数学

暴力积分: 假设有两个点已经确定夹角为θ\theta,那么第三个点可以取的角度弧度制范围是(以第一个点为基准零点): [θπ,π][\theta - \pi, \pi]。于是答案就是:

1π0ππ(θπ)2π  dθ=1π(π12π0πθ  dθ)=34\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\frac{\pi-(\theta-\pi)}{2\pi}\;\text{d}\theta = \frac{1}{\pi}(\pi - \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\theta\;\text{d}\theta) = \frac{3}{4}


小学数学

三个点都在一个半圆周上等价于三个点连成的三角形在圆心的一侧,即不包含圆心。例如:

那么怎么求这个概率呢?考虑下图作射线BABACACA:

这时候枚举B,CB,C和枚举BA,BCBA,BC再确定点BBCC是等价的。于是枚举BA,BCBA,BC即可。

这时候能得到这样一个图形的有四种可能的三角形ΔDBC\Delta DBC,ΔDBC1\Delta DBC_1,ΔDB1C\Delta DB_1C,ΔDB1C1\Delta DB_1C_1。只有一种包含圆心,即ΔDB1C1\Delta DB_1C_1。不难发现这总是成立的。

又因为我们之前构造了一种对应关系,所以分布是均匀的: 每四个三角形中有一个不满足条件,因此答案为34\frac{3}{4}

概括来说,过圆心做两条直径,每条直径分别选一个端点可以得到四种不同的方案。枚举不同的直径可以唯一且不遗漏得到一个圆周上取点的方案。这样的得到的每组四种方案中都有且仅有一种不合法。

答案是34\frac{3}{4}


n=4n = 4

大学数学

还是暴力积分。n=3n = 3的问题通过积分转化为一个面积问题,这里n=4n = 4就转化为体积问题。

这回要多分类讨论一样,就是一个二元函数: θ1\theta_1,θ2\theta_2分别表示第一个点和第二个点的夹角,第一个点和第三个点的夹角,p(θ1,θ2)p(\theta_1,\theta_2)表示第四个点的取值合法概率。得到一个三维立体图。

首先底面是θ1\theta_1θ2\theta_2本身有限制:

然后分类讨论第四个点的概率,得到的图形是底面六边形形成一个高为12\frac{1}{2}的六棱柱,然后顶部每个点再连向(0,0,1)(0,0,1):

这个多面体体积为12×(1+13)×3π2=2π2\frac{1}{2} \times (1+\frac{1}{3}) \times 3\pi^2 = 2\pi^2,除以总事件空间体积(代表方案数)2π×2π×1=4π22\pi \times 2\pi \times 1 = 4\pi^2,就得到12\frac{1}{2}

因此答案是12\frac{1}{2}


小学数学

似乎之前的方法非常巧妙,对于n=4n = 4就不适用了。

不过还是考虑通过构造"新方案"来解决问题。

这个问题麻烦在于点之间的相对关系不确定,如果关系确定就好办了: 对于一种选择四个点的方案,强制将随机一个点作为第一个点,且卡在顺时针半圆起始边界上。例如:

如果选择AA点作为起点,就只判断四个点是否在如下半圆内:

这样我们构建了一个"新方案": 原来每个方案取四个点中的任意一个作为起点可以构造四个"新方案"。

"新方案"满足四个点在这样一个已经固定好的半圆内的概率很好算: 除了第一个点用来确定半圆外剩下三个点都是随机取的,有12\frac{1}{2}的概率在半圆内,因此有18\frac{1}{8}的方案满足,78\frac{7}{8}的方案不满足。

接下来鸡兔同笼的骚操作就来了:

而对于原来的只有选择四个点的方案: 如果这个方案是不合法的(不存在一个半圆使得四个点在同一个半圆内),那么显然四种起点的选择都不满足条件;如果这个方案是合法的,那么只有一种起点的选择方案满足,其余总会出现在起点逆时针方向有点的情况。

因此每个合法方案对满足条件的"新方案"贡献为11,对不满足条件的新方案贡献为33;每个不合法方案对不满足条件的新方案贡献为44

那么设合法方案比例为pp,"新方案"比例系数为Ω\Omega。就有:

{4(1p)+3p=78Ωp=18Ω\begin{cases} 4(1-p) + 3p = \frac{7}{8}\Omega \\ p = \frac{1}{8}\Omega \\ \end{cases}

就解得p=12p = \frac{1}{2}。这样就好像鸡兔同笼问题,假设已知总动物数,然后知道物种A(合法方案)有11只眼33条腿,物种B(不合法方案)没有眼睛有44条腿,然后知道总的眼睛数和腿数之比,就求出物种A和B之比。


nN+n \in \mathbb N_+

大学数学

高维体积?

似乎并不好做了。


小学数学

n=4n = 4的情况完全可以无压力推广:

任选一个点作为起点,原先一个方案可以构造出nn个新方案。一个合法方案会构造出11个满足条件,n1n-1个不满足条件的新方案;一个不合法方案会构造出nn个不满足条件的新方案。

总的新方案合法比例是n1n-1个点任取在一个固定半圆内的概率12n1\frac{1}{2^{n-1}}

因此,就得到方程组:

{n(1p)+(n1)p=2n112n1Ωp=12n1Ω\begin{cases} n(1-p) + (n-1)p = \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}} \Omega \\ p = \frac{1}{2^{n-1}} \Omega \\ \end{cases}

解得通解p=n2n1p = \frac{n}{2^{n-1}}。其中要求n1n \ge 1。当n=1n = 1p=1p = 1;当n=2n = 2p=2p = 2;当n=3n = 3p=34p = \frac{3}{4};当n=4n = 4p=12p = \frac{1}{2}。符合情况。

因此这个问题的答案就是n2n1\frac{n}{2^{n-1}}

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文章作者: Magolor
文章链接: https://magolor.cn/2019/08/25/2019-08-25-blog-01/
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