微积分A(2)期末复习笔记

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多元函数定义

内积: $x,y \in \mathbb R^n$, $\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i$.

范数: $\forall N: \mathbb R^n \to \mathbb R$ s.t.: $\forall \lambda \in \mathbb R,x,y \in \mathbb R^n$,

  1. $N(x) \ge 0$且$N(x)=0 \Leftrightarrow x=0$.
  2. $N(\lambda x) = \vert \lambda \vert N(x)$.
  3. $N(x+y) \le N(x)+N(y)$.

$n$维空间范数等价性:
$N,M$为$\mathbb R^n$中任意两个范数, $\exists \alpha, \beta \in \mathbb R$ s.t.: $\forall x \in \mathbb R^n$,

因此通常只考虑2-范数: $| x | = \sqrt{\langle x,x \rangle}$.

三角不等式:

Cauchy-Schwarz不等式:


距离: $x,y \in \mathbb R^n, \Omega, \Lambda \subseteq \mathbb R^n$,

  1. $\text{dis}(x,y) = | x-y |$
  2. $\text{dis}(\Omega,y) = \inf \left\lbrace | x-y | \Big \vert x \in \Omega \right \rbrace$
  3. $\text{dis}(\Omega,\Lambda) = \inf \left\lbrace | x-y | \Big \vert x \in \Omega, y \in \Lambda \right \rbrace$

直径: $\text{diam}(\Omega) = \text{sup} \left\lbrace | x-y | \Big \vert x, y \in \Omega \right \rbrace$.

邻域: $x_0 \in \mathbb R^n, \delta \in \mathbb R$,

  1. $B(x_0,\delta) = \lbrace x \vert \text{dis}(x,x_0) \lt \delta \rbrace$.
  2. $B_0(x_0,\delta) = \lbrace x \vert 0 \lt \text{dis}(x,x_0) \lt \delta \rbrace$.


补集: $\Omega^c = \mathbb R^n \setminus \Omega$.

内点: $\exists \delta \gt 0, B(x_0,\delta) \subseteq \Omega$, 则$x_0 \in \Omega_0$.

外点: $\exists \delta \gt 0, B(x_0,\delta) \bigcap \Omega = \varnothing$, 则$x_0 \in \Omega_0^c = \overline \Omega$.

孤立点: $x_0 \in \Omega, \exists \delta \gt 0, B_0(x_0,\delta) = \varnothing$, 则$x_0$为孤立点.

边界点: $\forall \delta \gt 0, B(x_0,\delta) \bigcap \Omega \ne \varnothing \text{ and } B(x_0,\delta) \bigcap \Omega \ne B(x_0,\delta)$, 则$x_0$为边界点.

聚点: $\forall \delta \gt 0, B(x_0,\delta) \bigcap \Omega \ne \varnothing$, 则$x_0 \in \Omega’$.

闭包: $\text{Cl}(\Omega) = \Omega’ \bigcup \Omega$.

$x$为非聚点, $x \not \in \Omega$, 则$x$为外点.
$x$为非聚点, $x \in \Omega$, 则$x$为孤立点.

开集: $\Omega$ s.t.: $\Omega = \Omega_0$.

闭集: $\Omega$ s.t.: $\Omega = \overline \Omega$.

有界集: $\Omega$ s.t.: $\exists r \gt 0, \Omega \subseteq B(0,r)$.

$\mathbb R^n$与$\varnothing$既开又闭.
开集的并是开集, 有限个开集的交是开集.
闭集的交是闭集, 有限个闭集的并是闭集.


点列收敛: $\lbrace xi \rbrace$为$\mathbb R^n$中点列, 若$\lim{i\to\infty} | xi-x_0 | = 0$, 则$\lim{i\to\infty} x_i = x_0$.

收敛点列极限唯一.

Cauchy列(基本列): $\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0, \forall l,k \in \mathbb N_+, l,k \gt 0$, $| x_k-x_l | \lt \varepsilon$.

基本列 $\Leftrightarrow$ 收敛.

$\Omega$为闭集, $\lbrace xi \rbrace \subseteq \Omega$而$\lim{i\to\infty} xi$存在, 则$\lim{i\to\infty} x_i \in \Omega$. 特别地, 因为$\mathbb R^n$为闭集, 所以$\mathbb R^n$具有完备性.

连通集: $\forall x,y \in \Omega$, $\exists \varphi_i \in \mathscr C[a,b]$, $\varphi_i(a) = x^{(i)}, \varphi_i(b) = y^{(i)}$. 连通非空开集为开区域, 开区域闭包为闭区域.

二元函数: $f:\Omega \to \mathbb R$ s.t.: $\Omega \subseteq \mathbb R^2, \forall (x,y) \in \Omega, \exists! z \in \mathbb R, z = f(x,y)$.


二元函数极限与连续

二重极限: $p0 \in \Omega \subseteq \mathbb R^2$为聚点, 二元函数$f$定义在$B_0(p_0,\delta_0) \bigcap \Omega$上, 若$\exists A \in \mathbb R, \forall \varepsilon \gt 0, \exists 0 \lt \delta \lt \delta_0, p \in B_0(p_0,\delta_0) \bigcap \Omega$, 都有: $\vert f(p)-A \vert \lt \varepsilon$, 则$\lim{p\to p0 \atop p\in\Omega} = A$. 若$p_0$为$\Omega$内点, 则可简记为$\lim{p \to p0} f(p) = \lim{| p-p0 | \to 0} f(p) = \lim{x\to x_0 \atop y\to y_0} f(x,y) = A$.

若二重极限存在, 则任意路径趋近于$p_0$, 极限值相同.

累次极限: $\lim{x \to x_0} \lim{y \to y0} f(x,y)$与$\lim{y \to y0} \lim{x \to x_0} f(x,y)$.

若二重极限和累次极限均存在, 则相等.
若累次极限不相等, 则二重极限不存在.


连续: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall p \in B(p0,\delta) \bigcap D(f)$, 都有$\vert f(p)-f(p_0) \vert \lt \varepsilon$, 则$f$在$p_0$处连续.
否则$f$在$p_0$处间断, $p_0$为$f$间断点. $\lim
{p \to p_0}f(p)$存在但不等于$f(p_0)$则为可去间断点, 不存在则为本性间断点.

$f$在$p_0$二重极限存在, 则$f$在$p_0$处连续.
若$p_0$为$D(f)$聚点, $f$在$p_0$处连续 $\Leftrightarrow$ $f$在$p_0$二重极限为$f(p_0)$.
若$p_0$为$D(f)$孤立点, $f$在$p_0$处必连续.
若$p_0$为$f$间断点, $p_0$必为$D(f)$聚点.
若$p_0$处$f$连续, 则一元函数$f(x,y_0)$与$f(x_0,y)$在$(x_0,y_0)$处连续.

若$f$在开集$D$上连续或在闭集$D$内部和边界点上连续, 则$f \in \mathscr C(D)$.

$f$在连通集$D$上连续, 则$f$在$D$上最值存在.


二元函数导数

偏导数:

全微分:

可微 $\Rightarrow$ 连续, 偏导存在
偏导连续 $\Rightarrow$ 可微

可微的充要条件:

复合函数求导:
若$z = f(x,y) = f(x(t,s),y(t,s))$:


高阶偏导数:

若$f’’{xy},f’’{yx}$在$p0$处连续, 则$f’’{xy}(p0)=f’’{yx}(p_0)$.


方向导数: 对于$e \in \mathbb R^2, | e | = 1$, 可定义:

注意到上式中$e$仅指代射线方向, 即$\forall \lambda \gt 0$:

可微 $\Rightarrow$ 方向导数存在.
方向导数存在且同一点处反方向导数为正方向导数相反数 $\Rightarrow$ 偏导数存在.


梯度:


向量值函数与隐函数

向量值函数: $f:\Omega \to \mathbb R^m$ s.t.: $\Omega \subseteq \mathbb R^n, \forall \vec x \in \Omega, \exists! \vec y \in \mathbb R^m, \vec y = f(\vec x)$.

连续: $f \in \mathscr C(\Omega) \Leftrightarrow \forall 1 \le i \le n, f_i \in \mathscr C(\Omega_i)$.

映射微分:

其中$A \in M_{m \times n}(\mathbb R)$, 满足:

称$A$为$f$的Jacobi矩阵, 记作$J f(\vec x0) = \left.\frac{\partial (y_1,\cdots,y_m)}{\partial (x_1,\cdots,x_n)}\right\vert{\vec x_0} = A$.
$\Phi(\vec x_0)(\vec x) = J f(\vec x_0) \times \vec x$为$f$在$\vec x_0$的微分映射.
$\text{d} f(\vec x) = J f(\vec x_0) \times \text{d} \vec x$为$f$在$\vec x_0$的微分.

复合映射微分:
若向量值函数$f$在$\vec x_0$处可微, $g$在$\vec u_0 = f(\vec x_0)$处可微, $\text{Im}(f) \subseteq D(g)$. 则:

逆映射微分:


隐函数: $D(F) = W \times E \subseteq \mathbb R^n \times \mathbb R^m$, $\forall \vec x \in W, \exists! y \in E$ s.t.: $F(\vec x,y) = 0$. 则$F(\vec x,y)=0$确定隐函数$y = f(\vec x)$.

隐函数存在性:
若$F$在$W$内有定义, 且:

  1. $F \in \mathscr C^{(q)}$, $q \ge 1$.
  2. $\exists \vec p_0 \in W \times E, F(\vec p_0) = 0$.
  3. $F’_y(\vec p_0) \ne 0$.

则: $\exists I \times J \subseteq W \times E$ s.t.: $\vec x_0 \in I, y_0 \in J$ (i.e.: $\vec p_0$的邻域):

  1. $\forall \vec x \in I$, $\exists ! y = f(\vec x) \in J$. (隐函数存在唯一性)
  2. $y_0 = f(\vec x_0)$. (初值条件)
  3. $f \in \mathscr C^{(q)}(I)$. (隐函数连续性)
  4. $\forall \vec x \in I$,
    (隐函数导数)

若二元函数$F(x,y)=0$确定隐函数$f(x)$, $f^{-1} = g$存在 $\Leftrightarrow$ $F(x,y)=0$确定隐函数$g(y)$.

隐函数方程组: $\forall 1 \le i \le m, F_i(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m) = 0$, 其中$D(F_i) = W_x \times W_y$.

隐函数方程组解存在性:
若$F$在$W_x$内有定义, 且: $\forall 1 \le i \le m$,

  1. $F \in \mathscr C^{(q)}$, $q \ge 1$.
  2. $\exists p_0 \in W_x \times W_y, F_i(\vec p_0) = 0$.
  3. $\left.\frac{\partial (F1,\cdots,F_m)}{\partial (y_1,\cdots,y_m)}\right\vert{\vec p_0}$可逆.

则: $\exists \vec p_0$的邻域$I_x \times I_y$: $\forall 1 \le i \le m$,

  1. $\forall \vec x \in I_x, \exists! \vec y$ s.t.: $F_i(\vec x,\vec y) = 0$. 可以相应定义定义$y_i = (\vec y)_i = f_i(\vec x)$.
  2. $(\vec y_0)_i = f_i(\vec x_0)$.
  3. $f_i \in \mathscr C^{(q)}(I_x)$.
  4. $\forall \vec x \in I_x$,


空间曲线和曲面

空间曲线切向量: $\vec p = t \vec \tau$, 其中切向量$\vec \tau = (x’_t,y’_t,z’_t)(\vec p_0)$. 若空间曲线处处有非零、连续的切向量, 则称空间曲线光滑.

空间曲面切向量与法向量: 曲面$S:F(\vec p) = 0$在$\vec p_0$处可微, 且$\nabla F(\vec p_0) \ne 0$, $F$在邻域内连续, 则:

其中法向量$\vec n = \nabla F(\vec p_0) = (F’_x,F’_y,F’_z)(\vec p_0)$, 切向量$\vec \tau = (x’_t,y’_t,z’_t)(\vec p_0)$对于任意曲线$l:x=x(t),y=y(t),z=z(t)$ s.t: $\vec p_0 \in l \subseteq S$.

切向量求切线方程:

法向量求法线方程:

切向量求法平面方程:

法向量求切平面方程:

切向量求法向量(法向量求切向量类似):

显函数法向量: $\vec n = (f’_x,f’_y,-1)(p_0)$.


二元函数泰勒展开与极值

高阶全微分: 若$f \in \mathscr C^{(n)}$,

二元函数泰勒展开: 若$f \in \mathscr C^{(n)}$,

皮亚诺余项: $f \in \mathscr C^{(n)}$, $R_n = o \left( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}^n \right)$.
拉格朗日余项: $f \in \mathscr C^{(n+1)}$, $R_n = \frac{1}{(n+1)!}\left( \Delta x \cdot \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1}f(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)$, $\theta \in [0,1]$.

e.g.: $n=2$

二元函数微分中值定理: $f \in \mathscr C$, $\theta \in [0,1]$,


二元函数极值: $B(p_0,\delta) \subseteq D(f)$, 若$\forall p \in B(p_0,\delta), f(p) \le f(p_0)$, 则$p_0$为极大值点, $f(p_0)$为极大值. 极小值点和极小值同理.

极值点 $\Rightarrow$ 内点.
极值点, 偏导存在 $\Rightarrow$ 驻点(临界点).

$p_0$为$f$驻点, $f \in \mathscr C^{(2)}(B(p_0,\delta_0))$:

  • $f’’{xx}f’’{yy} - {f’’_{xy}}^2 \gt 0$, $p_0$为极值点
    • $f’’{xx} \gt 0, f’’{yy} \gt 0$, $p_0$为极小值点.
    • $f’’{xx} \lt 0, f’’{yy} \lt 0$, $p_0$为极大值点.
  • $f’’{xx}f’’{yy} - {f’’_{xy}}^2 \lt 0$, $p_0$不为极值点
  • $f’’{xx}f’’{yy} - {f’’_{xy}}^2 = 0$, 无法确定
    • 若$\exists 0 \lt \delta \lt \delta0, \forall p \in B(p_0,\delta)$, $f’’{xx}f’’{yy} - {f’’{xy}}^2 \ge 0$, 则为极值点, 按照第一条方式判断.

一般地, 对于$n$原函数, 判断Hessian矩阵$H_f(p_0)$:

若正定或在邻域内连续半正定, 则为极小值点; 若负定或在邻域内连续半负定, 则为极大值点.


最小二乘法求回归直线:


拉格朗日乘子法求条件极值: 求$f(x,y)$在$\varphi(x,y)=0$条件下的极值, 可构造拉格朗日函数并求解其驻点:


含参定积分

一致连续: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall p_1,p_2 \in \Omega, | p_1-p_2 | \lt \delta$, 都有$\vert f(p_1)-f(p_2) \vert \lt \varepsilon$, 则$f$在$\Omega$上一致连续.

有界闭集上连续则一致连续.

含参定积分: $I$为任意区间, $D = [a,b] \times I \subseteq D(f)$, 若$\forall u \in I$, $\varphi(u) = \int_a^b f(x,u)\;\text{d}x$存在, 则称其为$f$含参$u$的定积分.

连续性: $f \in \mathscr C(D)$ $\Rightarrow$ $\varphi \in \mathscr C(I)$, 即:

可导性: $f’_u \in \mathscr C(D)$ $\Rightarrow$ $\varphi’$存在且:

可积性: $f \in \mathscr C(D)$ $\Rightarrow$ $\varphi \in \mathscr R(I)$且:

变限积分: $f’_u \in \mathscr C(D)$, $a(u),b(u) \in \mathscr C[a,b]$在$[\alpha,\beta]$上可导 $\Rightarrow$ $\varphi’$在$[\alpha,\beta]$上存在且:


含参广义积分: $I$为任意区间, $D = [a,+\infty) \times I \subseteq D(f)$, 若$\forall u \in I$, $\varphi(u) = \int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$存在, 则称其为$f$含参$u$的无穷积分.

一致收敛: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists A_0 \gt a, \forall A \gt A_0, u \in I$, 都有$\vert \int_A^{+\infty}f(x,u)\;\text{d}x \vert \lt \varepsilon$, 则$\int_a^{+\infty}f(x,u)\;\text{d}x$在$I$上一致收敛.

一致收敛Cauchy原理:
$\inta^{+\infty}f(x,u)\;\text{d}x$在$I$上一致收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon \gt 0, \exists A_0 \gt a, \forall A_1,A_2 \gt A_0, u \in I$, 都有$\vert \int{A_1}^{A_2} f(x)\;\text{d}x \vert \lt \varepsilon$.

Weierstrass判别法:
$D = [a,+\infty) \times I \subseteq D(f)$, $f \in \mathscr C[a,+\infty)$. 若$\exists F \in \mathscr C[a,+\infty)$ s.t: $\forall (x,u) \in D, f(x) \le F(x)$且$\int_a^{+\infty} F(x)\;\text{d}x$收敛, 则$\int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$在$I$上一致收敛.

积分第二中值定理:
$f,g \in \mathscr C([a,b] \times I), g’_x \in \mathscr C([a,b] \times I)$, 若$g$关于$x$单调, 则$\exists \xi \in (a,b)$ s.t.:

Dirichlet判别法:
$f,g \in \mathscr C([a,b] \times I)$, 若:

  1. $\int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$关于$u \in I$一致有界.
  2. $g$关于$x$单调且关于$u \in I$一致趋于$0$.

则$\int_a^b f(x,u)g(x,u) \;\text{d}x$在$I$上一致收敛.

Abel判别法:
$f,g \in \mathscr C([a,b] \times I)$, 若:

  1. $\int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$关于$u \in I$一致收敛.
  2. $g$关于$x$单调且关于$u \in I$一致有界.

则$\int_a^b f(x,u)g(x,u) \;\text{d}x$在$I$上一致收敛.

局部一致收敛: $\forall u_0 \in I, \delta \gt 0$, 若都有$\int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$在$(u_0-\delta,u_0+\delta) \bigcap I$上一致收敛, 则$\int_a^{+\infty} f(x,u)\;\text{d}x$在$I$上局部一致收敛.

连续性: $f \in \mathscr C(D)$, $\varphi(u)$在$I$上局部一致收敛 $\Rightarrow$ $\varphi \in \mathscr C(I)$, 即:

可导性: $f’_u \in \mathscr C(D)$, $\varphi(u)$在$I$上一致收敛, $\int_a^{+\infty} f’_u(x,u) \;\text{d}x$在$I$上局部一致收敛 $\Rightarrow$ $\varphi’$存在且:

可积性: $f \in \mathscr C(D)$, $\varphi(u)$在$I$上一致收敛 $\Rightarrow$ $\varphi \in \mathscr R(I)$且:


Gamma函数: $\Gamma(\alpha) \in \mathscr C^{(\infty)}(0,+\infty)$,


Beta函数: $\Beta(p,q) \in \mathscr C((0,+\infty)\times(0,+\infty))$


多重积分

二重积分: $D \subseteq R^2$, $T$是$D$的一个分割, $\vert T \vert = \max_{1 \le i \le n} \lbrace \text{diam}(\Delta D_i) \rbrace$, 其中$\Delta D_i$面积为$S(\Delta D_i) = \Delta a_i$, $(x_i,y_i) \in \Delta D_i$, 则:

若该极限值存在且对于不同的$T$一致, 则$f$在$D$上可积, $f \in \mathscr R(D)$.

$\iintD 1 \;\text{d}a = S(D)$.
$f \in \mathscr R(D)$ $\Rightarrow$ $f$在$D$上有界.
$f \in \mathscr R(D)$ $\Leftrightarrow$ 达布上和=达布下和 $\Leftrightarrow$ 振幅刻画$\lim
{\vert T \vert\to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \cdot \Delta a_i$.
$D$为有界闭区域(或间断点集零面积且有界), 则$f \in \mathscr C(D)$ $\Rightarrow$ $f \in \mathscr R(D)$.

若$D = \bigcup_{i=1}^m D_i$, $\forall i \ne j, (D_i)_0 \bigcap (D_j)_0 = \varnothing$, 则:

且$f \in \mathscr R(D)$ $\Leftrightarrow$ $\forall i, f \in \mathscr R(D_i)$.

$f \ge g$ $\Rightarrow$ $\iint_D f \;\text{d}S \ge \iint_D g \;\text{d}S$.
$\left\vert \iint_D f \;\text{d}S \right\vert \le \iint_D \vert f \vert \;\text{d}S$.

二重积分中值定理: $f \in \mathscr C(D), g \in \mathscr R(D)$, $g$在$D$上不变号, 则$\exists (\xi,\eta) \in D$ s.t.:

二重积分的计算: 若$D = \lbrace (x,y) \vert x \in [a,b], y_1(x) \le y \le y_2(x) \rbrace$, 其中$y_1,y_2 \in \mathscr C[a,b]$且$y_1 \le y_2$恒成立. 则:

$D = \lbrace (x,y) \vert y \in [a,b], x_1(y) \le x \le x_2(y) \rbrace$情况类似.
注意若$\varphi(x,y) = (u,v)$为连续可微双射, 即$\forall (x,y) \in D, \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}$可逆, 则:

特别地, 对于极坐标有:

三维二重积分: 面积微元$\text{d}S$为:

若曲面单位法向量为$\vec n = \frac{\vec \tau_1 \times \vec \tau_2}{| \vec \tau_1 \times \vec \tau_2 |} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$, 则也可写作:

若切向量具体为$\vec \tau_1 = (x’_u,y’_u,z’_u), \vec \tau_2 = (x’_v,y’_v,z’_v)$, 则:

Gauss系数:


三重积分的计算: 三重积分与二重积分定义类似. 特别地, 三重积分可以转化为”先二后一”或”先一后二”的积分.

与二重积分类似有:

特别地, 对于柱坐标系有:

对于球坐标系有($x = \rho\sin\varphi\cos\theta, y = \rho\sin\varphi\sin\theta, z = \rho\cos\varphi$):


物理量计算:
质量:

质心(静力矩$/M$):

转动惯量:

引力:


曲线积分

第I型曲线积分:

其中:

特别地, 对于封闭曲线记为:

第I型曲线积分不具有方向性:

$f \ge g$ $\Rightarrow$ $\int_L f \;\text{d}\ell \ge \iint_L g \;\text{d}\ell$.
$\left\vert \int_L f \;\text{d}\ell \right\vert \le \iint_L \vert f \vert \;\text{d}\ell$.

第I型曲线积分中值定理: $f \in \mathscr C(L)$, $\exists (\xi,\eta,\zeta) \in L$ s.t.:


第II型曲线积分: $\vec F(x,y,z) = (X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))$, $\vec r = \vec \tau \text{d}\ell = (\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z)$, 有时$\vec r$也写做$\vec \ell$.

注意$\int_L X\text{d}x + Y\text{d}y + Z\text{d}z = \int_L X\;\text{d}x + \int_L Y \;\text{d}y + \int_L Z \;\text{d}z$, 其中的曲线积分$\int_L$不能直接等价于一重积分$\int$, 因为另一变量在改变而非常数. $\int_L f(x,y) \;\text{d}x$这种曲线积分在封闭情况下可以求解, 参见下方”Green公式”与”Stokes公式”(另外, 如果被积函数和另一变量无关也可以求解).

对于闭区域$D$的边界曲线$\partial D = L$, 一般将其正方向定义为$D$内部在$L$左侧, 记为$L^+$. 默认封闭曲线积分为沿正方向的积分.

若$L$为多条有向曲线段$L_i$首尾相接而成, 则:

且$\vec F \cdot \vec \tau \in \mathscr R(L)$ $\Leftrightarrow$ $\forall i, \vec F \cdot \vec \tau \in \mathscr R(L_i)$.

第II型曲线积分具有方向性:

事实上, $\int F \cdot \vec \tau \;\text{d}\ell$也可看做是第I型曲线积分不具有方向性, 但$\vec F \cdot (-\vec \tau) = - \vec F \cdot \vec r$, 故第II型曲线积分具有方向性.

Green公式:
$D \subseteq \mathbb R^2$, $P,Q \in \mathscr C^{(1)}(D)$, $\partial D = L$光滑或分段光滑, 则:

更进一步, 事实上有:

注意到如果构造$P,Q$使得$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = C$为非零常数, 则可用于求出$D$区域的面积. 例如:

另外, 分别考虑曲线在平面内的切向量和$\vec \tau$和朝向区域外侧的单位法向量$\vec n$, Green公式也可写作:


路径无关积分:
$D \subseteq \mathbb R^2$, $P,Q \in \mathscr C^{(1)}(D)$, $L$光滑或分段光滑, 则以下命题等价:

  1. $\int_{L(A,B)} P\text{d}x+Q\text{d}y$路径无关.
  2. $\exists U$ s.t.: $\forall (x,y) \in D, \text{d}U = P\text{d}x + Q\text{d}y$. 即:
  3. $\forall (x,y) \in D$, $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}$.
  4. $\forall L \subseteq D$, 若$L$为光滑或分段光滑封闭曲线, 则$\oint_L P\text{d}x + Q\text{d}y = 0$.

全微分方程: 若$\exists U, \text{d}U(x,y) = P\text{d}x+Q\text{d}y$, 则方程$P\text{d}x+Q\text{d}y = 0$为全微分方程. 由上述路径无关积分结论可得:

  1. $P\text{d}x+Q\text{d}y = 0$是全微分方程 $\Leftrightarrow$ $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$.
  2. $P = \frac{\partial U}{\partial x}, Q = \frac{\partial U}{\partial y}$.
  3. 全微分方程的通解为$U(x,y) = C$.

求全微分方程的通解函数$U$的方法:

  1. 任选一条路径$L$进行曲线积分.
  2. 定义$U_x(x,y) = \int P\;\text{d}x$, 则$\frac{\partial U_x}{\partial x} = P$. 若$U(x,y) = U_x(x,y) + U_y(y)$, 则$Q = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial U_x}{\partial y} + \frac{\text{d} U_y}{\text{d} y}$, 即$U_y = \int Q - \frac{\partial U_x}{\partial y} \;\text{d}y$. 即:
  3. 直接凑微分$P\text{d}x + Q\text{d}y = \text{d}U$.

常见全微分形式:

积分因子: 若$P\text{d}x + Q\text{d}y = 0$不是全微分方程, 但$\mu P\text{d}x + \mu Q\text{d}y = 0$是全微分方程(即$\frac{\partial(\mu \cdot P)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu \cdot Q)}{\partial x}$, 也即$\mu’_yP + \mu P’_y = \mu’_xQ + \mu Q’_x$), 则$\mu(x,y)$为$P\text{d}x + Q\text{d}y = 0$的积分因子.

若$\mu(x,y) = \mu(x)$(即$\mu’_y = 0$), 则:

若$\mu(x,y) = \mu(y)$(即$\mu’_x = 0$), 则:

若求出积分因子, 则全微分方程$\mu P\text{d}x + \mu Q\text{d}y = 0$通解为$U(x,y) = C$也就是原方程的通解.


曲面积分

第I型曲面积分:

其中(与三维二重积分类似):

事实上, 由行列式的物理意义即可得到, 对于任意$\vec \tau_u$和$\vec \tau_v$确定的$\text{d}S$, 以及$\vec \tau_p$和$\vec \tau_q$确定的$\text{d}S’$, 都有:

特别地, 对于封闭曲线记为:

第I型曲面积分中值定理: $f \in \mathscr C(\Sigma)$, $\Sigma$光滑, $\exists (\xi,\eta,\zeta) \in \Sigma$ s.t.:

Poisson公式:


双侧曲面: 曲面$S$上任意一点$p_0$处存在两个共线反向法向量, 选定其中一个为正方向, 当动点$p$从$p_0$出发沿$S$上任意封闭曲线回到$p_0$时, 法向量正方向与出发时正方向相同, 则$S$为双侧曲面. (单侧曲面例如莫比乌斯环). 规定方向的双侧曲面为有向曲面.

第II型曲面积分:$\vec F(x,y,z) = (X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))$, $\vec S = \vec n \text{d}S = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\text{d}S = (\text{d}y \wedge \text{d}z, \text{d}z \wedge \text{d}x, \text{d}x \wedge \text{d}y)$, 其中$\vec n$是有向曲面正方向一侧的单位法向量:

其中: $\text{d}y\wedge\text{d}z = \cos\alpha\;\text{d}S = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\;\text{d}S = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \times \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{\vert A \vert}\;\text{d}y\text{d}z = \text{sgn}(A)\;\text{d}y\text{d}z$. 另外两项同理.

注意$\iint{\Sigma^+} X \text{d}y \wedge \text{d}z + Y \text{d}z \wedge \text{d}x + Z \text{d}x \wedge \text{d}y = \iint{\Sigma^+} X \text{d}y \wedge \text{d}z + \iint{\Sigma^+} Y \text{d}z \wedge \text{d}x + \iint{\Sigma^+} Z \text{d}x \wedge \text{d}y$, 其中的曲面积分$\iint{\Sigma^+}$不能直接等价于二重积分$\iint$, 因为第三变量在改变而非常数. 不同于曲线积分, $\iint{\Sigma^+} f(x,y,z) \;\text{d}y\wedge\text{d}z$这种曲面积分在封闭情况下可以求解, 参见下方”Gauss公式”(另外, 类似于曲线积分如果被积函数和第三变量无关也可以求解).

对于闭区域$V$的边界曲线$\partial V = \Sigma$, 一般将其正方向定义为$\Sigma$的外侧, 记为$\Sigma^+$. 默认封闭曲线积分为沿正方向的积分.

第II型曲面积分具有方向性:

事实上, $\int F \cdot \vec n \;\text{d}S$也可看做是第I型曲面积分不具有方向性, 但$\vec F \cdot (-\vec n) = - \vec F \cdot \vec n$, 故第II型曲面积分具有方向性.

其中:

Gauss公式:
$V \subseteq \mathbb R^3$, $P,Q,R \in \mathscr C^{(1)}(V)$, $\partial V = \Sigma$光滑或分片光滑, 则:

更进一步, 事实上有:

注意到如果构造$P,Q,R$使得$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = C$为非零常数, 则可用于求出$V$区域的体积.

Stokes公式:
$S$为光滑双侧曲面, $P,Q,R \in \mathscr C^{(1)}(S)$, $\partial S = L$光滑或分段光滑, 则:

其中$L^+$和$S^+$方向满足右手法则(大拇指指向$S^+$正法向量方向, 四指为$L^+$正方向).

更进一步, 事实上有:

特别地, 在二维特殊情况下有:

与Green公式相吻合.


空间路径无关积分:
若$\Omega \subseteq \mathbb R^3$中任意一条简单封闭区县$L$可以通过连续形变收缩为一点, 则称$L$为零伦的. $L$为零伦的当且仅当$L$为某分片光滑曲面$S \subseteq \Omega$的边界曲线.
若区域$\Omega$内任意简单闭曲线都为零伦的,则$\Omega$为单连通体.
若$\Omega \subseteq \mathbb R^3$为单连通体, $P,Q \in \mathscr C^{(1)}(\Omega)$, $L$光滑或分段光滑, 则以下命题等价:

  1. $\int_{L(A,B)} P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z$路径无关.
  2. $\exists U$ s.t.: $\forall (x,y,z) \in \Omega, \text{d}U = P\text{d}x + Q\text{d}y + R\text{d}z$. 即:
  3. $\forall (x,y,z) \in \Omega, \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}$, $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$.
  4. $\forall L \subseteq D$, 若$L$为光滑或分段光滑封闭曲线, 则$\oint_L P\text{d}x + Q\text{d}y + R\text{d}z = 0$.


场论

: $\Omega \subseteq \mathbb R^3$, $\forall M \in \Omega$: 若$\exists! u = f(M)$, 则$f$为$\Omega$上的数量场; 若$\exists \vec u = \vec F(M)$, 则$\vec F$为$\Omega$上的向量场.

梯度场: 若数量场$U$在$\Omega$上连续可微, 则$\nabla U(M) = (U’_x(M),U’_y(M),U’_z(M))$为$\Omega$上的向量场, 即为$u$的梯度场. $\nabla$又称哈密顿算子:

注意$U$为数量场而$\nabla U$为向量场, 不能写作$\nabla \cdot U$, 后者中$U$为向量场而$\nabla \cdot U$为数量场(散度场).

任意连续可导数量场存在对应向量场(梯度场), 但并非所有连续向量场存在对应数量场, 其存在的充要条件是势函数存在(积分路径无关).

保守场: 若向量场$\vec F$在$\Omega$上积分路径无关, 即$\int_{L(A,B)} \vec F \cdot \vec \tau = U(B)-U(A)$, 则$\vec F$为$\Omega$上的保守场.

有势场: 若向量场$\vec F$在$\Omega$上存在可微函数$U$, 使得$\vec F = \nabla U$, 则$\vec F$为$\Omega$上的有势场.

$\vec F$为有势场 $\Leftrightarrow$ $\vec F$为保守场.


散度场: 若向量场$\vec F(M) = (P(M),Q(M),R(M))$在$\Omega$上连续可微, 则:

为$\Omega$上的数量场, 即$\vec F$的散度场.

通量/流量: $S^+$为连续可微向量场$\vec F$中的定向曲面, $\vec n$为$S^+$单位法向量, 则$\vec F$通过曲面$S$向$\vec n$方向的通量/流量为:

注意到根据Gauss公式, $\vec F$在$\Omega$上连续可微, 故:

且根据积分中值定理, $\exists \xi \in \Omega$:

故散度场可以定义为, 对于以$M$为球心的球$D$:

无源场: 若$\text{div}\vec F(M) \ne 0$, 称$\vec F$在$M$有流源; 若$\text{div}\vec F(M) \gt 0$, 称$\vec F$在$M$有正流源; 若$\text{div}\vec F(M) \lt 0$, 称$\vec F$在$M$有负流源. 若$\forall M \in \Omega$, $\text{div}\vec F(M) = 0$, 则$\vec F$为$\Omega$上的无源场.


旋度场: 若向量场$\vec F(M) = (P(M),Q(M),R(M))$在$\Omega$上连续可微, 则:

为$\Omega$上的向量场, 即为$\vec F$的旋度场.

环量/环流量: $L^+$为向量场$\vec F$中光滑或分段光滑的有向闭合曲线, $\vec \tau$为$L^+$单位切向量, 则$\vec F$沿$L^+$的环量/环流量为:

注意到根据Stokes公式:

且根据积分中值定理, $\exists \xi \in \Sigma^+$:

故旋度场可以定义为, 对于以$M$为圆心的圆$D$:

无旋场: 故$\text{rot}\vec F(M) \cdot \vec n$表示$\vec F$在$M$处环绕$\vec n$的方向旋量, 则$\text{rot}\vec F(M)$的三个方向分量分别表示$\vec F$在$M$处环绕$x,y,z$三个坐标的方向旋量. 若$| \text{rot}\vec F(M) | \ne 0$, 则$M$为$\vec F$的旋涡, $| \text{rot}\vec F(M) |$越大旋转越快. 若$\forall M \in \Omega$, $| \text{rot}\vec F(M) | = 0$, 则$\vec F$为$\Omega$上的无旋场.


调和场: 若向量场$\vec F$在$\Omega$上同时为有势场和无源场, 则$\vec F$为$\Omega$上的调和场.
$\vec F$在$\Omega$上同时为有势场和无源场, 故:

其中$\Delta$为拉普拉斯算子:

注意若$U$为数量场则$\Delta U$也为数量场, 若$U$为向量场则$\Delta U$也为向量场, 不能写作$\Delta \cdot U$, 后者无意义.

拉普拉斯方程: $\Delta U = 0$为拉普拉斯方程, 满足次方程的解函数$U$称为调和函数.


场的联合运算: 若数量场$U$在$\Omega$上二阶连续可微, 向量场$\vec F$在$\Omega$上二阶连续可微, 则:

由(1)., 旋度场均为无源场.
由(2)., 梯度场均为无旋场.
由(2)., $\vec F$为有势场/保守场 $\Leftrightarrow$ $\vec F$为无旋场, 即$| \text{rot}\vec F | = 0$.


平面通量: $L^+$为连续可微向量场$\vec F$中的定向曲线, $\vec n$为$L^+$在平面内的单位法向量, 则$\vec F$穿过曲线$L$的通量为:

平面环量: 与空间环量一致.

平面散度与旋度:


级数

级数: 无穷项数列求和:

其中$u_n$为通项/一般项, 若$\forall i, u_i$不含有参数变量, 则该级数为(常数项)级数. 正项级数、负项级数、交错级数、任意项级数等都为常数项级数的特殊情况.

部分和: 级数的前$n$项部分和为:

级数收敛当且仅当部分和数列收敛, 且此时两者相等.

级数收敛柯西原理: 又数列收敛柯西原理和级数收敛的部分和等价条件可得, 级数收敛当且仅当: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0, \forall n \gt N, p \gt 0$, 都有:

$S$收敛 $\Rightarrow$ 通项$u_n$收敛至$0$.
改变$S$的有限项不影响$S$的敛散性(但收敛时会影响级数值, 这与数列极限不同).

余合: $r_n = S-S_n$为级数$S$的第$n$项余和.

级数收敛当且仅当余和收敛至$0$.


收敛级数的运算: 若级数$\sum{n=1}^{\infty} u_n$收敛到$A$, 级数$\sum{n=1}^{\infty} v_n$收敛到$B$, $\forall \alpha,\beta \in \mathbb R$, $0 = n_0 \lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots$, 则:

注意新级数$\sum{k=1}^{\infty}(u{n{k-1}+1}+\cdots+u{n_k})$收敛不保证原级数收敛(e.g.: $1,-1$交错数列). 若收敛的新级数中每一项内符号相同,则原级数收敛.


同号级数: $\forall n \ge 1, un \ge 0$, 则$\sum{n=1}^\infty un$为正项级数. $\forall n \ge 1, u_n \le 0$, 则$\sum{n=1}^\infty u_n$为负项级数. 不失一般性, 通常仅考虑正项级数即可.

正项级数的级数部分和数列$S_n$单调递增, 故正项级数收敛当且仅当$S_n$.

正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$与$\sum{n=1}^\infty vn$满足$\exists N \in \mathbb N+$ s.t.: $\forall n \gt N$, $u_n \le cv_n$, 其中$c \gt 0$. 则:

  1. $\sum{n=1}^\infty v_n$收敛 $\Rightarrow$ $\sum{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. $\sum{n=1}^\infty u_n$发散 $\Rightarrow$ $\sum{n=1}^\infty v_n$发散.

e.g.:
广义调和级数/$p$-级数:

因为有:

故由于$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \;\text{d}x$收敛当且仅当$p \gt 1$, 进而$p$-级数收敛当且仅当$p \gt 1$.

比较判别法:
正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$与$\sum{n=1}^\infty vn$满足$\lim{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n} = k$, 则:

  1. $\sum{n=1}^\infty v_n$收敛, $0 \le k \lt +\infty$ $\Rightarrow$ $\sum{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. $\sum{n=1}^\infty v_n$发散, $0 \lt k \le +\infty$ $\Rightarrow$ $\sum{n=1}^\infty u_n$发散.

比阶判别法:
对于正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$, 若存在$p$使得$\lim{n\to\infty} n^p u_n = k$.

  1. 若$p \gt 1$, $0 \le k \lt +\infty$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. 若$p \le 1$, $0 \lt k \le +\infty$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$发散.

比值判别法:

几何级数收敛当且仅当$\vert q \vert \lt 1$. 故对于正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$, 若$\lim{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = c$, 其中$0 \le c \le +\infty$, 则:

  1. $c \lt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. $c \gt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$发散.
  3. $c = 1$, 无法判断.

特别地, 即使$\lim{n\to\infty}\frac{u{n+1}}{u_n}$不存在, 若存在对应上界和下界满足上述条件, 也可用于判别.

根式判别法(柯西判别法):
对于正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$, 若$\lim{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} = c$, 其中$0 \le c \le +\infty$, 则:

  1. $c \lt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. $c \gt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$发散.
  3. $c = 1$, 无法判断.

拉贝判别法:
对于正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$, 若存在$\mu$使得$n\to\infty$时有$\frac{u_n}{u{n+1}} = 1 + \frac{\mu}{n} + o(\frac{1}{n})$, 则:

  1. $\mu \gt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛.
  2. $\mu \lt 1$ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^\infty u_n$发散.
  3. $\mu = 1$, 无法判断.

积分判别法:
对于正项级数$\sum{n=1}^\infty u_n$, 若$\exists f(x) \in \mathscr C[1,+\infty)$ s.t.: $\forall n \in \mathbb N+, f(n) = un$且$f(x)$为单调递减非负函数, 则: $\sum{n=1}^\infty u_n$收敛当且仅当$\int_1^{+\infty} f(x) \;\text{d}x$收敛. 特别地,

$un$非负单调递减, 则$\sum{n=1}^\infty un$收敛当且仅当$\sum{n=1}^\infty 2^n u_{2^n}$收敛.

Proof:
记$Sn = \sum{k=1}^n uk$, $P_n = \sum{k=1}^n 2^k u_{2^k}$, 则:

莱布尼茨判别法:
$un$非负单调递减趋于$0$, 则$S = \sum{n=1}^\infty (-1)^{n-1}un$必定收敛: $u_1-u_2 \le S \le u_1$. 且部分和数列$S_n = \sum{k=1}^n (-1)^{k-1}uk$满足$u{n+1}-u{n+2} \le \vert S-S_n \vert \le u{n+1}$. 注意莱布尼茨判别法仅仅是充分条件.


任意项级数: 任意一项都可以为正项或负项的级数. 若$\sum{n=1}^\infty \vert u_n \vert$收敛, 则原任意项级数$\sum{n=1}^\infty un$绝对收敛; 若原任意项级数收敛但$\sum{n=1}^\infty \vert u_n \vert$不收敛, 则原任意项级数条件收敛.

定义任意项级数的正项部分$u_n^+ = \max\lbrace u_n,0 \rbrace$和负项部分$u_n^- = \max\lbrace -u_n,0 \rbrace$. 则:

  1. $\sum{n=1}^\infty u_n$绝对收敛当且仅当$\sum{n=1}^\infty un^+$和$\sum{n=1}^\infty u_n^-$均收敛.
  2. $\sum{n=1}^\infty u_n$条件收敛则$\sum{n=1}^\infty un^+$和$\sum{n=1}^\infty u_n^-$均发散(单调递增无上界).

    Proof:
    (1) $\Rightarrow$显然: $0 \le un^+ \le \vert u_n \vert$, $0 \le u_n^- \le \vert u_n \vert$.
    (1) $\Leftarrow$显然: $\sum
    {n=1}^\infty \vert un \vert = \sum{n=1}^\infty un^++u_n^-$.
    (2), 根据(1), 条件收敛则至少一个发散, 不妨假设$\sum
    {n=1}^\infty un^-$发散. 若$\sum{n=1}^\infty un^+$收敛, 则$\sum{n=1}^\infty u_n$必定发散, 则不条件收敛.

绝对收敛级数满足交换律.

Proof:
绝对收敛级数的正项部分级数和负项部分级数均收敛, 收敛同号级数满足交换律.

黎曼定理:
条件收敛级数必定不满足交换律: 必定存在一个重排列方法使其发散; 且$\forall A \in \mathbb R$, 存在一个重排列方法使其收敛到$A$.

Proof:
注意到条件收敛级数的正项部分级数和负项部分级数均发散.
$\forall M \in \mathbb R$, 可以取$\min k1$ s.t.: $\sum{j=1}^{k1} u_j^+ \ge M$, 再取$\max k_2$ s.t.: $\sum{j=1}^{k1} u_j^+ - \sum{j=1}^{k2} u_j^- \ge M$, 以此类推, 故级数发散.
$\forall A \in \mathbb R$, 可以取$\min k_1$ s.t.: $\sum
{j=1}^{k1} u_j^+ \ge A$, 再取$\min k_2$ s.t.: $\sum{j=1}^{k1} u_j^+ - \sum{j=1}^{k_2} u_j^- \le A$, 以此类推, 故级数收敛到$A$.


级数乘法: 级数乘法有两种定义:
级数对角线加法(卷积):

方块加法(多项式乘法):

柯西定理:
$\sum{n=1}^\infty a_n$与$\sum{n=1}^\infty bn$绝对收敛, 则任意顺序相加的级数$\sum{i,j}^\infty a_ib_j$均绝对收敛到级数乘法结果.

Proof:
考虑绝对值方块相加部分和$Pn’ = \left(\sum{k=1}^n \vert ak \vert \right) \cdot \left(\sum{k=1}^n \vert bk \vert \right)$, 故其对应原级数$P_n = \left(\sum{k=1}^n ak \right) \cdot \left(\sum{k=1}^n bk \right)$绝对收敛. 而绝对收敛数列满足交换律: $\left(\sum{k=1}^n ak \right) \cdot \left(\sum{k=1}^n bk \right) = \sum{i,j}^\infty a_ib_j$.

Dirichlet判别法:
$un$单调递减趋于$0$, $\sum{n=1}^\infty vn$部分和有界, 则$\sum{n=1}^\infty unv_n$收敛.
Abel判别法:
$u_n$单调有界, $\sum
{n=1}^\infty vn$收敛, 则$\sum{n=1}^\infty u_nv_n$收敛.


函数项级数: 函数$u_n(x)$定义在$I$上, 则:

$\forall \alpha \in I$, 若$\sum{n=1}^\infty u_n(\alpha)$收敛, 则$\alpha$为收敛点. $\sum{n=1}^{\infty} u_n(x)$的收敛点集合为其收敛域$D$. 若$x \in D$, 则有和函数:

与常数项级数类似对于$x \in D$, 部分和函数有:


一致收敛: 若$\sum_{n=1}^\infty u_n(\alpha)$在区间$I$上处处收敛, 部分和函数列$\lbrace S_n(x) \rbrace$在区间$I$上一致收敛到和函数, 则该函数项级数在区间$I$上一致收敛. 具体地, 对于部分和函数列的一致收敛: $\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists N \gt 0$, $\forall n \gt N, x \in I$, $\vert S_n(x) - S(x) \vert \lt \varepsilon$, 记为$S_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} S(x)\;\;\;\;(n \to \infty)$.

$\lbrace fn(x) \rbrace$一致收敛当且仅当$\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists N \gt 0$, $\forall n \gt N, x \in I$, $\forall p \ge 1$, $\vert f{n+p}(x) - f_n(x) \vert \lt \varepsilon$.

$fn(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} f(x)$当且仅当$\lim{n\to\infty} \sup_{x \in I}\vert f_n(x)-f(x) \vert = 0$.

若$\lbrace f_n(x) \rbrace$在$[a,b]$上有定义, $\forall n \ge 1$, $f_n(x)$在$a$处右连续, 但$\lbrace f_n(a) \rbrace$发散, 则$\forall 0 \lt \delta \lt b-a$, $\lbrace f_n(x) \rbrace$在$(a,a+\delta)$内非一致收敛.

函数项级数一致收敛柯西原理: $\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在区间$I$上一致收敛当且仅当$\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists N \gt 0$, $\forall n \gt N, x \in I$, $\forall p \in \mathbb N^\ast$, $\left\vert \sum{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right\vert \lt \varepsilon$.

若$\lbrace un(x) \rbrace$在$I$上非一致收敛到$0$, 则$\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上非一致收敛.

若$\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在$[a,b]$上有定义, $\forall n \ge 1$, $u_n(x)$在$a$处右连续, 但$\sum{n=1}^\infty un(x)$发散, 则$\forall 0 \lt \delta \lt b-a$, $\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在$(a,a+\delta)$内非一致收敛.

Majorant判别法:
$\forall n \ge 1$, $\vert un(x) \vert$在区间$I$上有定义且有上界$c_n$. 若$\sum{n=1}^\infty cn$收敛, 则$\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上绝对收敛且一致收敛.

Dirichlet判别法:
若$\forall x \in I$, $\lbrace un(x) \rbrace$单调且$u_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} 0$, 且$\sum{n=1}^\infty vn(x)$部分和函数列一致有界(i.e.: $\exists M \gt 0$ s.t.: $\left\vert \sum{k=1}^n vk(x) \right\vert \le M$), 则$\sum{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛.

Abel判别法:
若$\forall x \in I$, $\lbrace un(x) \rbrace$单调且函数列$\lbrace u_n(x) \rbrace$在$I$上一致有界, 且$\sum{n=1}^\infty vn(x)$在$I$上一致收敛, 则$\sum{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛.

若$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致收敛到其和函数$S(x)$, 且$\forall n \ge 1$, $u_n(x) \in \mathscr C(I)$, 则$S(x) \in \mathscr C(I)$.

若$f_n(x) \stackrel{I}{\rightrightarrows} f(x)$且$\forall n \ge 1$, $f_n(x) \in \mathscr C(I)$, 则$f(x) \in \mathscr C(I)$.

若$\forall n \ge 1$, $un(x) \in \mathscr C(I)$但$S(x) \not \in \mathscr C(I)$, 则$\sum{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上非一致收敛.

若$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$[a,b]$上一致收敛到其和函数$S(x)$, 且$\forall n \ge 1$, $u_n(x) \in \mathscr C[a,b]$, 则$S(x) \in \mathscr R[a,b]$且:

一般地, 若$f_n(x) \stackrel{[a,b]}{\rightrightarrows} f(x)$, 且$\forall n \ge 1$, $f_n(x) \in \mathscr C[a,b]$, 则$f(x) \in \mathscr R[a,b]$且:

若$\sum{n=1}^\infty u_n(x) = S(x)$, $\sum{n=1}^\infty u_n’(x)$在$[a,b]$上一致收敛, 且$\forall n \ge 1$, $u_n(x) \in \mathscr C^{(1)}[a,b]$, 则$S(x) \in \mathscr C^{(1)}[a,b]$且:

一般地, 若$f_n(x) \stackrel{[a,b]}{\rightrightarrows} f(x)$, 且$\forall n \ge 1$, $f_n(x) \in \mathscr C^{(1)}[a,b]$, 则$f^{(1)}(x) \in \mathscr C[a,b]$且:


幂级数:

Abel第一定理:
$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$x_0 \ne 0$处收敛, 则$\forall \vert h \vert \lt \vert x_0 \vert$, $\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$[-h,h]$上绝对收敛且一致收敛.

Proof:
$\vert a_nx^n \vert = \vert a_nx_0^n \vert \cdot \left\vert \left(\frac{x}{x_0}\right)^n \right\vert \le \vert a_nx_0^n \vert \cdot \left\vert \frac{h}{x_0} \right\vert^n$. 注意到$a_nx_0^n$趋于$0$故有上界$M$, 根据Majorant判别法, 该式$\le M \cdot \left\vert \frac{h}{x_0} \right\vert^n$, 后者为公比小于$1$的等比数列, 故收敛. 故原级数绝对收敛且一致收敛.

$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$x_1 \ne 0$处发散, 则$\forall \vert x_2 \vert \gt \vert x_1 \vert$, $\sum{n=1}^\infty a_nx_2^n$发散.

$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$x_0 \ne 0$处收敛, 在$x_1 \ne 0$处发散, 则$\exists ! r \gt 0$, 使得$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$(-r,r)$内绝对收敛, 在$[-r,r]$外处处发散.

收敛半径: 若$\exists! r \in [0,\infty]$ s.t.: $\forall \vert x \vert \lt r$, $\sum{n=0}^\infty a_nx^n$绝对收敛, $\forall \vert x \vert \gt r$, $\sum{n=0}^\infty anx^n$发散. 则$r$为$\sum{n=0}^\infty anx^n$的收敛半径; $(-r,r)$为$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛区间(注意收敛区间一定是开区间).

幂级数的收敛域为收敛区间并上收敛的区间端点. 收敛域是以原点为中心的区间.

对于$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛半径$r$, $\forall [a,b] \subseteq (-r,r)$, $\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$[a,b]$上绝对收敛且一致收敛.

若$\lim{n\to\infty} \frac{a{n+1}}{an} = l$或$\lim{n\to\infty}\sqrt[n]{\vert an \vert} = l$, 则$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛半径为$r = 1/l$. 特别地, $l = 0$时$r = +\infty$; $l = +\infty$时$r = 0$.


Abel第二定理:
若$\sum{n=0}^\infty a_nx^n$收敛半径为$R$且在$R$(或$-R$)处收敛, 则$\forall 0 \lt r \lt R$, $\sum{n=0}^\infty a_nx^n$在$[-r,R]$(或$[-R,r]$)上一致收敛.

Proof:
$[-r,R] = [-r,0] \bigcup [0,R]$. $[-r,0] \subseteq (-R,R)$显然一致收敛, 对于$[0,R]$: $\sum{n=0}^\infty a_nx^n = \sum{n=0}^\infty a_nR^n \cdot \frac{x^n}{R^n}$, 根据Abel判别法, 前者与$x$无关在$[0,R]$一致收敛, 后者在$[0,R]$单调递减且一致收敛, 则原级数在$[0,R]$一致收敛.

若$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$收敛半径为$r$, 则:

  1. $S(x) \in \mathscr C(-r,r)$.
  2. 若级数在$r$处收敛, 则$S(x) \in \mathscr C(-r,r]$.
  3. 若级数在$-r$处收敛, 则$S(x) \in \mathscr C[-r,r)$.
  4. $\forall [a,b] \subseteq (-r,r)$, $S(x) \in \mathscr R[a,b]$, 且:

$\sum{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}$, $\sum{n=0}^\infty anx^n$, $\sum{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$收敛半径相同.

若$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$收敛半径为$r$, 则$S(x) \in \mathscr C^{(\infty)}(-r,r)$且:

(注意$S(x)$仅在收敛域上有意义)


泰勒级数: 若$f(x)$在$(a-r,a+r)$内能展开成幂级数$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$, 则$r$为该级数的收敛半径, $f(x)$为该级数的和函数, $f(x)$在$(a-r,a+r)$内存在任意阶导数且$f^{(k)}(x) = S^{(k)}(x)$. 特别地, $f^{(k)}(a) = k!a_k$, 故$a_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$唯一确定, 则:

称右侧级数为$f(x)$在$a$点的泰勒级数, $f(x)$在$a=0$处的泰勒级数为$f(x)$的麦克劳林级数.

$f(x)$在点$a$处可以展开为泰勒级数当且仅当$f(x)$在$(a-r,a+r)$内任意阶导数存在, 且在$\forall x \in (a-r,a+r)$, $n\to\infty$时拉格朗日余项$R_n(x)$趋近于$0$.

注意到一个充分条件为: $f(x)$在$(a-r,a+r)$内各阶导数一致有界, 则:

e.g.:

特别地,


三角函数系: $\forall m,n \in \mathbb N^+$:

故$\lbrace \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt \pi}\cos (nx),\frac{1}{\sqrt \pi}\sin(nx) \rbrace$为标准正交三角函数系: 即任意不同的二者内积为$0$, 相同的内积为$1$.

Fourier级数: 设$f(x) \in \mathscr R[-\pi,\pi]$, 则存在Fourier系数$\lbrace an \rbrace{n=0}^\infty, \lbrace bn \rbrace{n=1}^\infty$ s.t.: $f(x)$的Fourier级数为:

若Fourier级数收敛则可记为:

对等式两侧同时乘$\cos nx$并积分, 可得:

对等式两侧同时乘$\sin nx$并积分, 可得:

Dirichlet收敛定理:
若$f(x)$在$[a,b]$上有界, 且存在分割$a = x0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x{n-1} \lt xn = b$使得在任意区间$(x{k-1},x_k)$上$f(x)$单调, 则称$f(x)$分段单调. 若$f(x)$以$2\pi$为周期, 在$[-\pi,\pi]$分段单调有界, 则$f(x)$的Fourier级数在$\mathbb R$上收敛, 其在$x$处的展开收敛到:

若$f(x)$为奇函数, 则$a_n = 0$; 若$f(x)$为偶函数, 则$b_n = 0$.

若$f(x)$周期为$2l$, 则可将$\varphi(y) = f(\frac{l}{\pi}y) = f(x)$展开为Fourier级数. 故:

三角多项式: 对于$\mathbb R$上的$\lbrace ck \rbrace{k=0}^n, \lbrace dk \rbrace{k=1}^n$, 若$c_nd_n \ne 0$, 则有$n$阶三角多项式:

若$f(x) \in \mathscr R[-\pi,\pi]$以$2\pi$为周期, 则其Fourier级数的$n$阶部分和$S_n(f,x)$为一个阶数$\le n$的三角多项式, 而且该三角多项式最小化方均误差:

Proof:
$\forall T_k(x)$ s.t.: $k \le n$:

第一逼近定理:
$\forall f(x) \in \mathscr C[a,b]$, $\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists$ 多项式 $p(x)$ s.t.: $\forall x \in [a,b], \vert f(x)-p(x) \vert \lt \varepsilon$.

第二逼近定理:
$\forall f(x)$连续且周期为$2\pi$, $\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists$ 三角多项式 $q(x)$ s.t.: $\forall x \in \mathbb R, \vert f(x)-q(x) \vert \lt \varepsilon$.

Lebesgue可积函数逼近定理:
$\forall f(x) \in \mathscr R[a,b]$, $\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists g(x) \in \mathscr C[a,b]$ s.t.: $\int_a^b (f(x)-g(x))^2\;\text{d}x \lt \varepsilon$.

由上述定理可进一步得到推论:
$\forall f(x)$可积且周期为$2\pi$, $\forall \varepsilon \gt 0$, $\exists$ 三角多项式 $q(x)$ s.t.: $\int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-q(x))^2\;\text{d}x \lt \varepsilon$.

Bessel不等式: 若$f(x) \in \mathscr R[-\pi,\pi]$以$2\pi$为周期, 则$\forall n \in \mathbb N^+$:

Parseval等式: 若$f(x) \in \mathscr R[-\pi,\pi]$以$2\pi$为周期, 则:

更一般地, 若$f(x),g(x) \in \mathscr R[-\pi,\pi]$以$2\pi$为周期, 则:

Riemann-Lebesgue引理:
$f(x) \in \mathscr R[a,b]$, 则:

故若$f(x) \in \mathscr R[a,b]$, 则$\lim{n\to\infty} a_n = \lim{n\to\infty} b_n = 0$.
更进一步, 若$f’(x) \in \mathscr R[a,b]$且$f(-\pi)=f(\pi)$, 则$a_n=o(\frac{1}{n}), b_n=o(\frac{1}{n})$. 这是因为$a_n = \frac{1}{n}b_n’, b_n = -\frac{1}{n}a’_n$.


复谐振动:

其中$C = re^{i\theta}$为复振幅, $\vert C \vert$为振幅, $\theta$为初相, $\omega \in \mathbb R$为圆频率.

复数形式Fourier级数:
设$f(t) \in \mathscr R[-l,l]$周期为$2l$, 令$\omega = \pi/l$, 则其Fourier级数可以写成:

其中$c0 = a_0/2$, $c_k = \frac{a_k-ib_k}{2}$, $c{-k} = \frac{a_k+ib_k}{2} = \overline{c_k}$ ($k \gt 0$), 则有:

复值函数内积: 若$f(x),g(x)$为$[-l,l]$上可积实变复值函数, 其内积为:

$\lbrace e^{ik\omega t} \vert k \in \mathbb Z\rbrace$为标准正交函数系.

Fourier积分: $f(t) \in\mathscr C(\mathbb R)$为非周期函数, $f_l(t)$为$f(t)$定义在$[-l,l]$上的部分延拓产生的周期为$2l$的周期函数(i.e.: $f(t+2l) = f(t)$). 若$f$在任意有限区间上分段单调, 则$f$可以展开成Fourier级数, 则:

考虑构造连续实变量$\omegak = k\omega$. 则$\frac{1}{2l} = \frac{1}{2\pi}(\omega_k-\omega{k-1}) = \frac{1}{2\pi} \Delta \omega_k$. 那么:

若$f$在$\mathbb R$上绝对可积且在$t$处连续, 则上述积分式为$f(t)$的Fourier积分.

Fourier变换: 根据Fourier积分可以定义含参积分:

$\hat f$为$f$的Fourier变换, $f$为$\hat f$的Fourier逆变换.

特别地, 由于$e^{i\omega u} = \cos(\omega u) + i \sin(\omega u)$, 而$\sin(\omega u)$为关于原点的奇函数, 积分为$0$, 故也可写作:

离散Fourier变换:
若$f$以$2\pi$为周期, 则:

$f,g$在$\mathbb R$上绝对可积, 则:

$f(x),f’(x)$在$\mathbb R$上绝对可积且$\lim_{t\to\infty} f(t) = 0$, 则:

更进一步, 若$\forall k \in \mathbb N$, $f^{(k)}$在$\mathbb R$绝对可积且$\lim_{t\to\infty} f^{(k)}(t) = 0$, 则:

$f,g$满足常系数微分方程$g(t) = \sum_{k=0}^n a_k f^{(k)}(t)$, 则:

卷积:

$f,g$在$\mathbb R$上绝对可积, 则:

$f,g,h$满足卷积方程$f = g + h \ast f$, 则:


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文章作者: Magolor
文章链接: https://magolor.cn/2020/06/07/2020-06-07-blog-01/
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