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高中数学笔记
|高中文化课
字数总计: 14.6k|阅读时长: 72 分钟

继续留遗产…

UPD2019.06.15: PDF版本链接

网页较大预警。如果公式解析不正确请刷新页面。长时间加载不出来建议打开PDF用Ctrl+S键下载到本地。流量访问请谨慎。

高考完继续留遗产…

整理了一下笔记，也许是面向后来要补文化课的竞赛选手的。本来想高考前发出来的，结果本地Markdown语法和博客的Markdown语法解析不兼容，高考前不想浪费时间，现在花了较长时间调整可以放出来了。也是由于语法解析不兼容的缘故，已经尽可能修正了，最后Markdown排版还是有点小问题~~，凑合看吧~~。而且公式比较多，网页解析可能比较慢，稍等一会儿即可。

虽然自己挺菜的，不过感觉整理的比较全面，除了一些特别简单和特别超纲的知识点就没有涉及，可能存在少部分超纲内容，仅供参考(面向对象也许是全国I卷570 ~ 640吧，这个说不好~~，主要是高考之前也不敢乱说~~)。

免责声明: 文章中存在错误是难免的~~，后果自负~~，欢迎大佬联系指正或默默走开。且据目前统计来看有较大概率出现错别字。

数学选修极坐标单独整理了，不等式整理较少，主要在基本运算部分。

对于数学学科来说，公式应该总结的非常全面了，不过数学题更多的还是大量题目训练、计算能力和智商，仅仅掌握基础知识和公式是不够的。笔记中的一些运算技巧起码个人感觉可以说是非常有用了。也许有较多超纲内容？建议以题目训练为主，这里的笔记仅仅是提醒、提供一些技巧。

高考加油！！！

UPD2019.06.24: 高考667分。所以面向对象也许是570 ~ 667(雾)。


基本运算

  1. 立方差公式

    a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \\

  2. 二次方程ax2+bx+cax^2+bx+c韦达定理

    Δ=b2−4acx1,2=−b±Δ2ax1+x2=−bax1x2=ca∣x1−x2∣=Δ∣a∣x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=b2−2aca2∣x12−x22∣=∣(x1+x2)(x1−x2)∣=∣b∣Δa21x1+1x2=x1+x2x1x2=−bc∣1x1−1x2∣=∣x1−x2∣∣x1x2∣=Δ∣c∣f(x)min⁡或max⁡=f(−b2a)=−Δ4a\Delta = b^2-4ac \\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a} \\ x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} \\ |x_1-x_2| = \frac{\sqrt\Delta}{|a|} \\ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{b^2-2ac}{a^2} \\ |x_1^2 - x_2^2| = |(x_1+x_2)(x_1-x_2)| = \frac{|b|\sqrt\Delta}{a^2} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = -\frac{b}{c} \\ |\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}| = \frac{|x_1-x_2|}{|x_1x_2|} = \frac{\sqrt\Delta}{|c|} \\ f(x)_{\min或\max} = f(-\frac{b}{2a}) = -\frac{\Delta}{4a} \\

    方程有两个正根 ⇔Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, x_1+x_2 \gt 0, x_1x_2 \gt 0。

    方程有两个负根 ⇔Δ>0,x1+x2<0,x1x2>0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, x_1+x_2 \lt 0, x_1x_2 \gt 0。

    方程有两个异号根 ⇔x1x2<0\Leftrightarrow x_1x_2 \lt 0。

    方程有两个根均大于mm ⇔Δ>0,x1+x2>2m,(x1−m)(x2−m)>0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, x_1+x_2 \gt 2m, (x_1-m)(x_2-m) \gt 0。

    方程有两个根均小于mm ⇔Δ>0,x1+x2<2m,(x1−m)(x2−m)>0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, x_1+x_2 \lt 2m, (x_1-m)(x_2-m) \gt 0。

    方程有两个根在mm两侧 ⇔(x1−m)(x2−m)<0\Leftrightarrow (x_1-m)(x_2-m) \lt 0。

    方程有两个根在(l,r)(l,r)之间 ⇔Δ>0,l<−b2a<r,f(l)f(r)>0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, l \lt -\frac{b}{2a} \lt r, f(l)f(r) \gt 0。

    方程有两个根在[l,r][l,r]之间 ⇔Δ>0,l<−b2a<r,a⋅f(l)≥0,a⋅f(r)≥0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, l \lt -\frac{b}{2a} \lt r, a \cdot f(l) \ge 0, a \cdot f(r) \ge 0。

    方程有两个根，一个在(l,r)(l,r)之间 ⇔Δ>0,f(l)f(r)<0\Leftrightarrow \Delta \gt 0, f(l)f(r) \lt 0。

    方程有两个根，一个在[l,r][l,r]之间 ⇔Δ>0,{f(l)f(r)<0}或{f(l)=0,l+r2<−b2a}或{f(r)=0,−b2a<l+r2}\Leftrightarrow \Delta \gt 0, \lbrace f(l)f(r) \lt 0 \rbrace 或 \lbrace f(l) = 0, \frac{l+r}{2} \lt -\frac{b}{2a} \rbrace 或 \lbrace f(r) = 0, -\frac{b}{2a} \lt \frac{l+r}{2} \rbrace。


  3. 高次不等式: 穿根法，因式分解数轴标根，二次因式不穿过数轴。分式不等式可以分子分母分解因式后视作相乘，穿根后注意抠点。

  4. 绝对值不等式: ∀x,∣f(x)∣<g(x)⇔∀x,−g(x)<f(x)<g(x)\forall x, |f(x)| \lt g(x) \Leftrightarrow \forall x, -g(x) \lt f(x) \lt g(x)。

  5. 均值不等式链: 当0<a<b0 \lt a \lt b时:

    0<a<21a+1b⏟调和平均<ab⏟几何平均<b−aln⁡b−ln⁡a⏟对数平均<a+b2⏟算术平均<a2+b22⏟平方平均<b0 \lt a \lt \underbrace{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}_{调和平均} \lt \underbrace{\sqrt{ab}}_{几何平均} \lt \underbrace{\frac{b-a}{\ln b - \ln a}}_{对数平均} \lt \underbrace{\frac{a+b}{2}}_{算术平均} \lt \underbrace{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}_{平方平均} \lt b

对数平均值结论不直接用于导数题的证明，但是证明对数平均值的方法可以作为证明导数题的思路。对数平均值的位置可以构造t=bat = \frac{b}{a}后转化为tt的函数求导加以证明，如证明对数平均大于几何平均: ⇔ln⁡ba<ba−ab\Leftrightarrow \ln \frac{b}{a} \lt \sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{\frac{a}{b}}。

推论:
$$
\underbrace{ab}_{几何} \le \underbrace{\frac{(a+b)^2}{4}}_{算术} \le \underbrace{\frac{a^2+b^2}{2}}_{平方} \\
\underbrace{2\sqrt{ab}}_{几何} \le \underbrace{a+b}_{算术} \le \underbrace{\sqrt{2(a^2+b^2)}}_{平方} \\
\underbrace{2\sqrt{AB}}_{几何} \le \underbrace{At + B\frac{1}{t}}_{算术} \\
$$

  1. 积和并存式的化简(如Ax+By+Cxy+D=0Ax + By + Cxy + D = 0)

    • 换元法: Ax+By≥2ABxy=2AB⋅tAx + By \ge 2\sqrt{ABxy} = 2\sqrt{AB} \cdot t，t2=xy=−Ax+By+DC≤−2AB⋅t+DCt^2 = xy = -\frac{Ax+By+D}{C} \le -\frac{2\sqrt{AB} \cdot t+D}{C}，即可解二次不等式求出tt的范围，进而求出xyxy最小值以及Ax+ByAx+By最小值。
    • 乘一法: 当D=0D = 0时有Ax+By=−CxyAx + By = -Cxy，同除−Cxy-Cxy得1−C(Ay+Bx)=1\frac{1}{-C}(\frac{A}{y}+\frac{B}{x}) = 1，则可求nx+my=1−C(nx+my)(Ay+Bx)nx+my = \frac{1}{-C}(nx+my)(\frac{A}{y}+\frac{B}{x})，然后化简套用均值不等式即可。
    • 配方法: 如a+2b+2ab−8=0⇔a+2b+2ab+1=9⇔(a+1)(2b+1)=9a + 2b + 2ab - 8 = 0 \Leftrightarrow a + 2b + 2ab + 1 = 9 \Leftrightarrow (a+1)(2b+1) = 9，然后对(a+1)(a+1)和(2b+1)(2b+1)套用均值不等式即可。

  2. 三角不等式

    ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣\Big||a|-|b|\Big| \le \Big|a \pm b\Big| \le |a| + |b|

  3. 柯西不等式

    ∵(a⃗⋅b⃗)2≤(∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)2\because (\vec a \cdot \vec b)^2 \le (|\vec a| \cdot |\vec b|)^2

    ∴(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)\therefore (x_1x_2 + y_1y_2)^2 \le (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)

  4. 常用不等式: ex≥x+1>x>x−1≥ln⁡xe^x \ge x+1 \gt x \gt x-1 \ge \ln x。

  5. 等差数列快速求和及差分:

    ∵∑(2i−1)=n2,∑i=n(n+1)2,∑1=n\because \sum(2i-1) = n^2, \sum i = \frac{n(n+1)}{2}, \sum 1 = n

    an=kn+b⇔Sn=k2n(n+1)+bna_n = kn+b \Leftrightarrow S_n = \frac{k}{2}n(n+1) + bn

    Sn=kn2+bn⇔an=k(2n−1)+bS_n = kn^2 + bn \Leftrightarrow a_n = k(2n-1) + b

  6. 等比数列快速求和:

    Sn=a1qn−1q−1S_n = a_1\frac{q^n - 1}{q-1}

    令an=cna_n = c^n就得到:

    ⇒∑i=1nci=cc−1(cn−1)\Rightarrow \sum_{i=1}^n c^i = \frac{c}{c-1}(c^n-1)

    求和上下界差分就得到:

    ⇒∑i=lrci=cc−1(cr−cl−1)\Rightarrow \sum_{i=l}^rc^i = \frac{c}{c-1}(c^{r}-c^{l-1})

    这一结论常可以被用于裂项相消过程中快速求出k∑i=2ncik\sum_{i=2}^nc^i项的通式。具体计算裂项相消化简就得到:

    ⇒∑i=1nici=cc−1(ncn−cn−1c−1)\Rightarrow \sum_{i=1}^nic^i = \frac{c}{c-1}(nc^n-\frac{c^n-1}{c-1})

    这个式子看上去没有规律，深入理解其物理意义: 因为有cn−1c−1=∑i=0n−1ci\frac{c^n-1}{c-1} = \sum_{i=0}^{n-1}c^i，代入整理再代入第二个式子就得到:

    ⇒∑i=1nici=∑i=1ncc−1(cn−ci−1)=∑i=1n∑j=incj\Rightarrow \sum_{i=1}^nic^i = \sum_{i=1}^n\frac{c}{c-1}(c^n-c^{i-1}) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nc^j

    所以第三个式子的本质就是横向求和和纵向求和的转化，这样就方便记忆和使用了。


集合

  1. 集合满足确定性、互异性、无序性。

  2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

  3. nn个元素(n≥1n \ge 1)有2n2^n个子集，2n−12^n-1个真子集，2n−12^n-1个非空子集，2n−22^n-2个非空真子集。空集只有一个子集，没有真子集、非空子集、非空真子集。

  4. 德摩根律: CU(A⋂B)=(CUA)⋃(CUB)C_U(A \bigcap B) = (C_UA) \bigcup (C_UB)，CU(A⋃B)=(CUA)⋂(CUB)C_U(A \bigcup B) = (C_UA) \bigcap (C_UB)。

  5. 映射: f:A→Bf:A \rightarrow B，两个非空集合AA和BB之间存在着对应关系ff，且AA中任何一个元素aa(原象)有一个唯一、确定的BB中元素bb(象)与其对应，记做b=f(a)b = f(a)。AA为定义域，所有bb构成的集合f(A)f(A)为值域(不一定为BB)。

    一个映射如果f(A)=Bf(A) = B则称为满射(BB中每个元素都被对应到)，如果∣f(A)∣=∣A∣|f(A)| = |A|则称为单射(AA中每个元素对应不同元素)，既是满射又是单射的映射为双射/一一映射。

    ∣A∣=n,∣B∣=m|A| = n, |B| = m，f:A→Bf: A \rightarrow B共有mnm^n种；其中单射有Amn=Cmnn!A_m^n = C_m^nn!种；满射个数只能递推或求和求出，没有一个单项通项。

    ∣A∣=∣B∣=n|A| = |B| = n，双射f:A→Bf: A \rightarrow B共有n!n!种。

    如果A,BA,B为非空数集，那么称一个映射f:A→Bf: A \rightarrow B为函数。

  6. 集合的表示:

    列举法: {1,2,3,5}\lbrace 1,2,3,5 \rbrace

    描述法: {x∣x>1}\lbrace x| x \gt 1 \rbrace

    符号法: N\mathbb N非负整数集(自然数集)；N∗或N+\mathbb N^*或\mathbb N_+正整数集(其他正集同理，如Q+\mathbb Q_+)；Z\mathbb Z整数集；Q\mathbb Q有理数集；R\mathbb R实数集；C\mathbb C复数集。

    数集的区间表示。

    图示法: Venn图。


函数

  1. 单调性: ∀x1,x2,f(x1)−f(x2)x1−x2同号\forall x_1,x_2, \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}同号。或∀x,lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx同号\forall x, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}同号。

    复合函数f(g(x))f(g(x))单调性: 同增异减。

    函数单调性的推论: 对于一个在一段区间内的连续函数，∀x1≠x2,f(x1)≠f(x2)⇔f(x)单调\forall x_1 \ne x_2, f(x_1) \ne f(x_2) \Leftrightarrow f(x)单调。

  2. 奇偶性: 定义域对称且∀x,f(x)=f(−x)\forall x, f(x) = f(-x)为偶函数，定义域对称且∀x,f(x)=−f(−x)\forall x, f(x) = -f(-x)为奇函数。只有f(x)=0f(x) = 0既奇又偶。

    复合函数f(g(x))f(g(x))奇偶性: 同奇才奇。f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)奇偶性: 同偶异奇。

    任何一个函数都可以拆分为一个奇函数与一个偶函数之和:

    f(x)=f(x)+f(−x)+f(x)−f(−x)2=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2f(x) = \frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2} = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}

    奇函数关于原点对称，偶函数关于yy轴对称。

  3. 函数的零点: f(x0)=0f(x_0) = 0则称x0x_0为函数f(x)f(x)的一个零点(是一个数而不是一个点)。

f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) \lt 0则区间(a,b)(a,b)内存在奇数个变号零点。

  1. 正比例函数: f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y) = f(x) + f(y)

    幂型函数: f(xy)=f(x)⋅f(y)f(xy) = f(x) \cdot f(y)

    对数型函数: f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) +f(y)

    指数型函数: f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y)

  2. 对数函数性质

    alog⁡ax=xlog⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡aylog⁡amxn=nmlog⁡axlog⁡ab⋅log⁡bc=log⁡aca^{\log_ax} = x \\ \log_a(xy) = \log_ax + \log_ay \\ \log_{a^m}x^n = \frac{n}{m}\log_ax \\ \log_ab \cdot \log_bc = \log_ac \\

  3. 反函数性质

    • 将函数表达式中的yy与xx互换，定义域和值域互换。

    • 反函数图像与原图像关于y=xy = x对称，对应位置切线斜率互为倒数，若原函数过点(a,b)(a,b)，则反函数过点(b,a)(b,a)。

    • 反函数对应区间单调性与原函数相同。

    • 非一一映射的函数没有反函数。

  4. 定义域问题:

    • 分数函数 →\rightarrow 分母不为0
    • 根号函数 →\rightarrow 根号下大于等于0
    • 对数函数 →\rightarrow 底数大于0且不为1，真数大于0
    • 指数函数 →\rightarrow 000^0无意义

  5. 周期问题

    • f(x+a)=f(x−a)f(x+a) = f(x-a)，则f(x)f(x)的一个周期为T=2aT = 2a。
    • f(a+x)=f(b−x)f(a+x) = f(b-x)，则f(x)f(x)的一个对称轴为x=a+b2x = \frac{a+b}{2}。
    • f(x)f(x)有两条对称轴x=a,x=bx = a, x = b，则f(x)f(x)的一个周期为T=2∣a−b∣T = 2|a-b|。
    • f(x)f(x)有两个对称中心(a,0),(b,0)(a,0),(b,0)，则f(x)f(x)的一个周期为T=2∣a−b∣T = 2|a-b|。
    • f(x)f(x)有对称轴x=ax = a，对称中心(b,0)(b,0)，则f(x)f(x)的一个周期为T=4∣a−b∣T = 4|a-b|。

三角函数

  1. 任意角的大小比较: 按照弧度制实数比较，正角>零角>负角正角 \gt 零角 \gt 负角。

    锐角(0,π/2)(0,\pi/2)、直角π/2\pi/2与钝角(π/2,π)(\pi/2,\pi)定义不变。

    和一个角共终边的所有角: {β∣β=α+2k⋅π,k∈Z}\lbrace \beta | \beta = \alpha + 2k \cdot \pi, k \in \mathbb Z \rbrace。

  2. 方位角: 从正北方向顺时针旋转的角度。

    坡度: 坡面与水平面所成二面角的正切值。

  3. 弧度制

    1rad=180°π≈57.3°1 \text{rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°，1°=π180°≈0.017451° = \frac{\pi}{180°} \approx 0.01745。

    弧长与扇形面积:

    l=∣α∣rS=l2πr⋅πr2=12lr=12∣α∣r2l = |\alpha| r \\ S = \frac{l}{2 \pi r} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} |\alpha| r^2

  4. 任意角三角函数，对于点(x,y)(x,y)，距离原点距离ρ\rho，圆心角θ\theta。

    \begin{align} 正弦\sin \theta = \frac{y}{\rho}\;\;\;\; & 余割 \csc \theta = \frac{\rho}{y} = \frac{1}{\sin \theta} \\ 余弦\cos \theta = \frac{x}{\rho}\;\;\;\; & 正割 \sec \theta = \frac{\rho}{x} = \frac{1}{\cos \theta} \\ 正切\tan \theta = \frac{y}{x}\;\;\;\; & 余切 \cot \theta = \frac{x}{y} = \frac{1}{\tan \theta} \\ \end{align}

  5. 三角函数公式

    \begin{align} & \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\ & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ & \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\tan^2 \alpha} = 1 \\ & \sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{1}{\tan^2 \alpha} = 1 \\ & \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ & \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ & \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \;\;\;\;(注意定义域)\\ & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ & \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) \\ & \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \\ & \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \\ & \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \\ & (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 = 1 \pm \sin 2\alpha \\ \end{align}

    万能替换公式: 记T=tan⁡α2记T = \tan \frac{\alpha}{2}。

    sin⁡α=2T1+T2cos⁡α=1−T21+T2tan⁡α=2T1−T2\sin \alpha = \frac{2T}{1+T^2} \\ \cos \alpha = \frac{1-T^2}{1+T^2} \\ \tan \alpha = \frac{2T}{1-T^2} \\

    辅角公式:

    asin⁡(ωx)+bcos⁡(ωx)=a∣a∣a2+b2sin⁡(ωx+arctan⁡ba)a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x) = \frac{a}{|a|}\sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega x + \arctan \frac{b}{a})

    和差化积与积化和差:(以cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta为例)

    \begin{align} & \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\;\;\;\;①\\ & \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\;\;\;\;②\\ & \frac{①+②}{2} \Rightarrow \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)]\;\;\;\;(积化和差) \\ & 用A,B代\alpha + \beta,\alpha - \beta \Rightarrow \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2}(\cos A + \cos B)\;\;\;\;(和差化积) \\ \end{align}

    UPD2019.11.05: 和差化积利用复数证明:

    (cos⁡x+cos⁡y)+i(sin⁡x+sin⁡y)=eix+eiy=eix+y2(eix−y2+eiy−x2)=(cos⁡x+y2+isin⁡x+y2)⋅(cos⁡x−y2+cos⁡y−x2)=2(cos⁡x+y2+isin⁡x+y2)⋅cos⁡x−y2=(2cos⁡x+y2cos⁡x−y2)+i(2sin⁡x+y2cos⁡x−y2)\begin{aligned} & (\cos x + \cos y) + i(\sin x + \sin y) \\ =& e^{ix} + e^{iy} \\ =& e^{i\frac{x+y}{2}}(e^{i\frac{x-y}{2}}+e^{i\frac{y-x}{2}}) \\ =& \left(\cos \frac{x+y}{2} + i \sin \frac{x+y}{2}\right) \cdot \left(\cos \frac{x-y}{2} + \cos \frac{y-x}{2}\right) \\ =& 2\left(\cos \frac{x+y}{2} + i \sin \frac{x+y}{2}\right) \cdot \cos \frac{x-y}{2} \\ =& \left(2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\right) + i\left(2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\right) \\ \end{aligned}

    (cos⁡x−cos⁡y)+i(sin⁡x−sin⁡y)=eix−eiy=eix+y2(eix−y2−eiy−x2)=(cos⁡x+y2+isin⁡x+y2)⋅(isin⁡x−y2−isin⁡y−x2)=2(−sin⁡x+y2+icos⁡x+y2)⋅sin⁡x−y2=(−2sin⁡x+y2sin⁡x−y2)+i(2cos⁡x+y2sin⁡x−y2)\begin{aligned} & (\cos x - \cos y) + i(\sin x - \sin y) \\ =& e^{ix} - e^{iy} \\ =& e^{i\frac{x+y}{2}}(e^{i\frac{x-y}{2}}-e^{i\frac{y-x}{2}}) \\ =& \left(\cos \frac{x+y}{2} + i \sin \frac{x+y}{2}\right) \cdot \left(i \sin \frac{x-y}{2} - i \sin \frac{y-x}{2}\right) \\ =& 2\left(- \sin \frac{x+y}{2} + i\cos \frac{x+y}{2}\right) \cdot \sin \frac{x-y}{2} \\ =& \left(-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right) + i\left(2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right) \\ \end{aligned}

    tan⁡x±tan⁡y=sin⁡(x±y)cos⁡xcos⁡ycot⁡x±cot⁡y=sin⁡(y±x)sin⁡xsin⁡y\begin{aligned} \tan x \pm \tan y = \frac{\sin(x \pm y)}{\cos x \cos y} \\ \cot x \pm \cot y = \frac{\sin(y \pm x)}{\sin x \sin y} \\ \end{aligned}

    sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y=sin⁡(x+y)sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y=sin⁡(x−y)⇒sin⁡xcos⁡y=12(sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y))cos⁡xsin⁡y=12(sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y))\begin{aligned} & \sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x+y) \\ & \sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin(x-y) \\ \Rightarrow & \\ & \sin x \cos y = \frac{1}{2}\Big(\sin(x+y)+\sin(x-y)\Big) \\ & \cos x \sin y = \frac{1}{2}\Big(\sin(x+y)-\sin(x-y)\Big) \\ \end{aligned}

    cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x−y)cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x+y)⇒cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x−y)+cos⁡(x+y))sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y))\begin{aligned} & \cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x-y) \\ & \cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x+y) \\ \Rightarrow & \\ & \cos x \cos y = \frac{1}{2}\Big(\cos(x-y)+\cos(x+y)\Big) \\ & \sin x \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos(x-y)-\cos(x+y)\Big) \\ \end{aligned}

    三角函数求值常用变换

    • 同乘、除sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha，或将原式中的1与其互换。经常通过平方配成齐次式。

    • 分子分母同时乘、除sin⁡α\sin \alpha、cos⁡α\cos \alpha或sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha，并利用tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}。

    • sin⁡α+cos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha，sin⁡α−cos⁡α\sin \alpha - \cos \alpha，sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha相互转化。

    诱导公式:

    • 整圈不变: sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi) = \sin x，cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi) = \cos x。
    • 半圈相反: sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi) = -\sin x，cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x + \pi) = -\cos x。
    • 加直求导: sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x，cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos(x + \frac{\pi}{2}) = - \sin x。
    • 减直积分: sin⁡(x−π2)=sin⁡(x+3π2)=−cos⁡x\sin(x-\frac{\pi}{2}) = \sin(x+\frac{3\pi}{2}) = -\cos x，cos⁡(x−π2)=cos⁡(x+3π2)=sin⁡x\cos(x-\frac{\pi}{2}) = \cos(x+\frac{3\pi}{2}) = \sin x。
    • 正奇余偶: sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x，cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x。
    • 正余互余: sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x，cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x。tan⁡(π2−x)=cot⁡x\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x，cot⁡(π2−x)=tan⁡x\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x。
    • 切直负变: tan⁡(x+π2)=−cot⁡x\tan(x+\frac{\pi}{2}) = -\cot x，cot⁡(x+π2)=−tan⁡x\cot(x + \frac{\pi}{2}) = - \tan x。

  6. 三角函数线: 有向线段

  7. 三角函数图像

    左加右减，上加下减，所有操作针对自变量xx。

    正弦型函数: Asin⁡(ωx+φ)+B        (ω>0)A\sin(\omega x + \varphi)+B\;\;\;\;(\omega \gt 0)。频率f=ω2πf = \frac{\omega}{2\pi}；最小正周期T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega}；振幅AA；相位ωx+φ\omega x + \varphi；初相φ\varphi。

    五点法: ωx+φ=0,π2,π,3π2,2π\omega x + \varphi = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi。

    正切型函数: 注意定义域。最小正周期T=πωT = \frac{\pi}{\omega}。

  8. 三角形中的三角函数

    • 三角形中角度关系

      A+B+C=πsin⁡C=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+sin⁡Bcos⁡Acos⁡C=−cos⁡(A+B)=sin⁡Asin⁡B−cos⁡Acos⁡Btan⁡C=−tan⁡(A+B)sin⁡C2=cos⁡(A+B2)cos⁡C2=sin⁡(A+B2)tan⁡C2=cot⁡(A+B2)cot⁡C2=tan⁡(A+B2)A + B + C = \pi \\ \sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A \\ \cos C = -\cos(A+B) = \sin A \sin B - \cos A \cos B \\ \tan C = -\tan(A+B) \\ \sin \frac{C}{2} = \cos(\frac{A+B}{2}) \\ \cos \frac{C}{2} = \sin(\frac{A+B}{2}) \\ \tan \frac{C}{2} = \cot(\frac{A+B}{2}) \\ \cot \frac{C}{2} = \tan(\frac{A+B}{2}) \\

    • 正弦定理

      asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2r外\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r_{外}

      推论:

      a+bsin⁡A+sin⁡B=a+csin⁡A+sin⁡C=b+csin⁡B+sin⁡C=a+b+csin⁡A+sin⁡B+sin⁡C=2r外SΔABC=12absin⁡C=12acsin⁡B=12bcsin⁡A=12(a+b+c)r内sin⁡A≥sin⁡B⇔a≥b⇔A≥B⇔cos⁡A≤cos⁡B⇔cos⁡2A≤cos⁡2B⇔cos⁡2A≤cos⁡2B\frac{a+b}{\sin A + \sin B} = \frac{a+c}{\sin A + \sin C} = \frac{b+c}{\sin B + \sin C} = \frac{a+b+c}{\sin A + \sin B + \sin C} = 2r_外\\ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}(a+b+c)r_{内} \\ \sin A \ge \sin B \Leftrightarrow a \ge b \Leftrightarrow A \ge B \Leftrightarrow \cos A \le \cos B \Leftrightarrow \cos^2 A \le \cos^2 B \Leftrightarrow \cos 2A \le \cos 2B \\

    • 余弦定理

      a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=a2+c2−2accos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡Ca^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\

      推论:

      cos⁡A=b2+c2−a22bccos⁡B=a2+c2−b22accos⁡C=a2+b2−c22ab\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\

    • 海伦公式

      记p=CΔABC2=a+b+c2p = \frac{C_{\Delta ABC}}{2} = \frac{a+b+c}{2}，则有

      SΔABC=p(p−a)(p−b)(p−c)S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

  • 射影定理

    CD2=AD⋅BDBC2=BD⋅BAAC2=AD⋅ABccos⁡B+bcos⁡C=aacos⁡C+ccos⁡A=bacos⁡B+bcos⁡A=cCD^2 = AD \cdot BD \\ BC^2 = BD \cdot BA \\ AC^2 = AD \cdot AB \\ c \cos B + b \cos C = a \\ a \cos C + c \cos A = b \\ a \cos B + b \cos A = c \\


向量

  1. 相等向量: 共基线，方向相同且模长相等

    相反向量: 共基线，方向相反且模长相等

    同向向量: 共基线，方向相同

    反向向量: 共基线，方向相反

    等长向量: 模长相等

    向量垂直: 基线垂直。

    平行向量/共线向量: 基线平行或重合。

    0⃗\vec{0}垂直、平行于任何向量，但其与另一个向量的夹角只能是0或π2\frac{\pi}{2}而不能是其他角度。

  2. ∣a⃗+b⃗∣=∣a⃗−b⃗∣⇔a⃗⊥b⃗|\vec a + \vec b| = |\vec a - \vec b| \Leftrightarrow \vec a \perp \vec b (矩形对角线相等)

    ∣a⃗∣=∣b⃗∣⇔a⃗+b⃗⊥a⃗−b⃗|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \vec a + \vec b \perp \vec a - \vec b (直角三角形斜边中线)

  3. 判断向量共线/三点共线:

    • m⃗=0⃗\vec m = \vec 0或存在λ\lambda使得n⃗=λm⃗\vec n = \lambda \vec m ⇔\Leftrightarrow 向量n⃗,m⃗\vec n, \vec m共线。

    • 对于平面内任意一点OO和线段ABAB上一点PP，存在唯一一组λ,μ\lambda,\mu，使得λ+μ=1\lambda + \mu = 1且:

      OP⃗=λOA⃗+μOB⃗\vec{OP} = \lambda\vec{OA} + \mu\vec{OB}

      其中有λ=∣PB∣∣AB∣,μ=∣PA∣∣AB∣\lambda = \frac{|PB|}{|AB|}, \mu = \frac{|PA|}{|AB|}(即加权重心)。

    • a⃗,b⃗共线⇔a⃗×b⃗=0⇔∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡(a⃗,b⃗)⇔xayb−xbya=0\vec a, \vec b共线 \Leftrightarrow \vec a \times \vec b = 0 \Leftrightarrow |\vec a||\vec b|\sin(\vec a, \vec b) \Leftrightarrow x_ay_b - x_by_a = 0

  4. 平面向量基本定理: 选择平面Ω\Omega内任意不共线向量e⃗1,e⃗2\vec e_1, \vec e_2。向量a⃗∈Ω⇔∃a,b,ae⃗1+be⃗2=a⃗\vec a \in \Omega \Leftrightarrow \exists a,b, a\vec e_1 + b\vec e_2 = \vec a。

    单位正交基底: ∣i⃗∣=∣j⃗∣=1,i⃗⊥j⃗|\vec i| = |\vec j| = 1, \vec i \perp \vec j。

  5. 向量点积: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡<a⃗,b⃗>\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos <\vec a, \vec b>。其中∣b⃗∣cos⁡<a⃗,b⃗>|\vec b|\cos<\vec a, \vec b>称为b⃗\vec b在a⃗\vec a上的投影。

    推论:

    cos⁡<a⃗,b⃗>=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣a⃗,b⃗垂直⇔a⃗⋅b⃗=0⇔∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡<a⃗,b⃗>⇔xaxb+yayb=0\cos<\vec a, \vec b> = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}\\ \vec a, \vec b垂直 \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow |\vec a||\vec b|\cos<\vec a, \vec b> \Leftrightarrow x_ax_b + y_ay_b = 0

  6. 向量与平面几何(AB⃗=a⃗,AD⃗=b⃗\vec{AB} = \vec a, \vec{AD} = \vec b)

    平行四边形四边对角线平方和定理:

    BD2+AC2=AB2+BC2+CD2+DA2=2(AB2+AD2)BD^2 + AC^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AB^2 + AD^2)

    (∵(a⃗+b⃗)2+(a⃗−b⃗)2=2(a⃗2+b⃗2)\because (\vec a + \vec b)^2 + (\vec a - \vec b)^2 = 2(\vec a^2 + \vec b^2))

    极化恒等式:

    AB⃗⋅AD⃗=AE2−BE2=AE2−CE2=AE2−14BC2=14(AC2−BD2)\vec{AB} \cdot \vec{AD} = AE^2 - BE^2 = AE^2 - CE^2 = AE^2 - \frac{1}{4}BC^2 = \frac{1}{4}(AC^2 - BD^2)

    (∵a⃗⋅b⃗=14[(a⃗+b⃗)2−(a⃗−b⃗)2]\because \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{4}[(\vec a + \vec b)^2 - (\vec a - \vec b)^2])

    斯图尔特公式，对于BDBD上任意一点EE都有存在唯一一组λ,μ\lambda,\mu，使得λ+μ=1\lambda + \mu = 1且:

    AE2=λAB2+μAD2−∣BE∣⋅∣DE∣AE^2 = \lambda AB^2 + \mu AD^2 - |BE| \cdot |DE|

    其中有λ=∣ED∣∣BD∣,μ=∣EB∣∣BD∣\lambda = \frac{|ED|}{|BD|}, \mu = \frac{|EB|}{|BD|}(即加权重心)。

    (∵cos⁡∠AEB+cos⁡∠AED=0\because \cos \angle AEB + \cos \angle AED = 0，代入余弦定理)。

  7. 向量旋转公式

    [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy]=[x′y′]\left[\begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix}\right]

  8. 空间向量: 与平面向量几乎完全相同。

    记AB⃗=(x1,y1,z1)\vec{AB} = (x_1,y_1,z_1)，AC⃗=(x2,y2,z2)\vec{AC} = (x_2,y_2,z_2)，AD⃗=(x3,y3,z3)\vec{AD} = (x_3,y_3,z_3)。

    平面三角形面积:

    SΔABC=12∣AB⃗×AC⃗∣=12∣x1y2−x2y1∣=12∣Det[x1y1x2y2]∣SΔABC=12∣Det[xAyA1xByB1xCyC1]∣S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| = \frac{1}{2}\left|\text{Det} \left[\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{matrix}\right]\right| \\ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left|\text{Det} \left[\begin{matrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \\ \end{matrix}\right]\right| \\

    空间四面体体积:

    VA−BCD=16∣Det[x1y1z1x2y2z2x3y3z3]∣V_{A-BCD} = \frac{1}{6}\left|\text{Det} \left[\begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{matrix}\right]\right|

    空间三角形面积:

    SΔABC=12∣Det[i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2]∣=12∣(y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2)∣S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left|\text{Det} \left[\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{matrix}\right]\right| = \frac{1}{2}|(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)|

    注意这里是向量模长而非绝对值，也可用海伦公式计算。


逻辑、统计与概率

  1. 命题的等价形式

    原命题:p⇒q逆命题:q⇒p否命题:pˉ⇒qˉ逆否命题:qˉ⇒pˉ命题的否定:p⇒qˉ原命题: p \Rightarrow q \\ 逆命题: q \Rightarrow p \\ 否命题: \bar p \Rightarrow \bar q \\ 逆否命题: \bar q \Rightarrow \bar p \\ 命题的否定: p \Rightarrow \bar q \\

    原命题 ⇔\Leftrightarrow 逆否命题；逆命题 ⇔\Leftrightarrow 否命题；注意否命题与命题的否定不同。

  2. (第一)数学归纳法

    要证明: 对于任意n∈N+n \in N_+，pnp_n为真。

    (1) 当n≤n0n \le n_0时，pnp_n为真。

    (2) 假设当n=kn = k时pnp_n为真(k≥n0k \ge n_0)，当n=k+1n = k+1时pnp_n(即pk+1p_{k+1})也为真。直接从pk+1p_{k+1}出发运用分析法，最后得到pk⇒pk+1p_k \Rightarrow p_{k+1}。

    (3) 由(1),(2)则对于任意n∈N+n \in N_+，pnp_n为真。

  3. 频率分布直方图(纵轴为频率/组距，所有柱形面积和为1)

    平均数: 每个柱形视作中值，求平均。

    中位数: 面积恰好1/2处的值。

    众数: 取最高的柱形中值。(注意平均数和中位数只有一个，众数可以有多个)。

  4. 回归分析

    检验数据的相关性(只有相关性高才有求回归直线的价值):

    r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ∑i=1nxi2−nxˉ2∑i=1nyi2−nyˉ2r = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i - \bar y)^2}} = \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i - n \bar x \bar y}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n \bar x^2}\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2 - n \bar y^2}} \\

    ∣r∣≤1|r| \le 1恒成立，当rr趋近于1时正相关性很高，当rr趋近于−1-1时负相关性很高，当rr趋近于0时相关性较弱。

    求y^=b^x+a^\hat y = \hat bx + \hat a满足最小化∑i=1n(yi−y^i)2\sum_{i=1}^n(y_i - \hat y_i)^2，称y^=b^x+a^\hat y = \hat bx + \hat a为这组数据的回归直线。有:

    b^=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ∑i=1nxi2−nxˉ2a^=yˉ−b^xˉ\hat b = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)^2} = \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i - n \bar x \bar y}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n \bar x^2} \\ \hat a = \bar y - \hat b \bar x

    对于y=cedxy = ce^{dx}一类的函数常两边取对数后用回归曲线拟合: ln⁡y^=d^x+ln⁡c^\hat {\ln y} = \hat d x + \hat {\ln c}。

  5. 独立性检验

χ2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) \chi^2 = \frac{(a+b+c+d)(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

χ2\chi^2越大，两者相关性越强。注意χ2\chi^2分子为5次式，而分母为4次式，这意味着样本数目数量级越大时得出的两者相关性强的结论往往更可靠，这与常识相吻合。

  1. 二项式展开式

    Tr+1=Cnran−rbrT_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r

    即aa次数较大的项在前。

  2. 分布

    • 两点分布: X∼B(1,p)X \sim B(1,p)

      P(X=1)=p,P(X=0)=1−pP(X=1) = p, P(X=0) = 1-p

      E(X)=pE(X) = p

      D(X)=p(1−p)D(X) = p(1-p)

    • 二项分布: X∼B(n,p)X \sim B(n,p)

      P(X=i)=Cnipi(1−p)n−iP(X=i) = C_n^ip^i(1-p)^{n-i}